Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (x)/(x^2 + 9)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x^2 + 9 != 0 . Todavia, como x^2 + 9 > 0 , segue que

D_f = R

Passo 3

A única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem ( 0,0 ) .

Passo 4

Observe que a função é ímpar:

f (- x) = (- x)/((- x)^2 + 9) = - (x)/(x^2 + 9) = - f ( x )

Como ela é ímpar, ela apresenta simetria com relação à origem.

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:

underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x^2 + 9) = underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^2 + 9) = 0

Assim, tanto para - oo como para + oo , a reta y = 0 é assíntota horizontal da função.

Como o domínio da função é a reta real toda, o gráfico da função não vai apresentar assíntotas verticais.

Passo 6

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos de y ' :

y^' = (1 * (x^2 + 9) - x * 2 x)/((x^2 + 9)^2) = (9 - x^2)/((x^2 + 9)^2) = - (x^2 - 9)/((x^2 + 9)^2)

Como (x^2 + 9)^2 > 0 , o termo - (x^2 - 9) = - ( x - 3 ) ( x + 3 ) vai mandar no sinal de y ' :

Assim, (- 3 , - (1)/(6)) é ponto de mínimo local, enquanto que (3 , (1)/(6)) é ponto de máximo local.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y^(' ') = - (2 x * (x^2 + 9)^2 - (x^2 - 9) * 2 (x^2 + 9) * 2 x)/((x^2 + 9)^4) = - (2 x (x^2 + 9) - 4 x ( x^2 - 9 ))/((x^2 + 9)^3)

Assim,

y^(' ') = (2 x ( x^2 - 27 ))/((x^2 + 9)^3)

Como (x^2 + 9)^3 > 0 , o termos que vai mandar no sinal de y ' ' é x (x^2 - 27) = x ( x - 3 sqrt(3) ) ( x + 3 sqrt(3) ) :

Assim, os pontos de inflexão são (- 3 sqrt(3) , - (sqrt(3))/(12)) , ( 0,0 ) e (3 sqrt(3) , (sqrt(3))/(12)) .

Resposta

O esboço da curva:

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