Enunciado

Uma partícula move-se segunda a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , em que t é medido em segundos e s em metros

  1. Encontre a velocidade no instante t
  2. Qual a velocidade depois de 3 s
  3. Quando a partícula está em repouso?
  4. Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
  5. Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos
  6. Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula
  7. Encontre a aceleração no instante t e depois de 3 s
  8. Faça os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8
  9. Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

f t = 0,01 t 4 - 0,04 t 3

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função posição de uma partícula

f t = 0,01 t 4 - 0,04 t 3

E nosso objetivo é a partir dela encontrar uma série de coisas: A função velocidade, a velocidade em t = 3 s , quando a partícula está em repolso, quando o movimento da partícula é positivo, a distancia percorrida no intervalo de 8 s , encontrar a função aceleração, esboçar os gráficos da posição, velocidade e aceleração, encontrar a aceleração em t = 3 s e por fim determinar o intervalo de tempo quando a partícula está acelerando e quando a partícula está freiando.

É muita coisa, não é?

Bom... para resolver esse problema temos que lembrar dos princípios físicos que diz que a velocidade é a variação da posição sobre a variação no tempo

v = ∆ s ∆ t

E a aceleração é a variação da velocidade sobre a variação do tempo.

a = ∆ v ∆ t

Trazendo isso para a nossa realidade, taxa de variação é a mesma coisa que derivada em um função, ou seja

v = d s d t ,     a = d v d t

Então derivando a função f vamos obter a função velocidade e derivando a função velocidade, vamos obter a função aceleração...

Veja só!

Passo 2

Se s = f t = 0,01 t 4 - 0,04 t 3 , então

v = d 0,01 t 4 - 0,04 t 3 d t

Pela regra da potência

v t = 4 · 0,01 t 4 - 1 - 3 · 0,04 t 3 - 1

v t = 0,0 4 t 3 - 0 , 12 t 2

Show? A partir dessa função podemos responder os quatro primeiros quesitos do problema...

Veja só!

Passo 3

No item a) é pedido a velocidade em função do tempo t .

Isso é justamente o que fizemos no passo 2, ou seja

v t = 0,04 t 3 - 0,12 t 2

No item b) é pedido a velocidade em t = 3 s , então substituímos t = 3 em v t e encontramos o resultado.

v 3 = 0,04 3 3 - 0,12 3 2

v 3 = 0   m / s

No item c) temos que descobrir quando a partícula está em repolso...

Pensando fisicamente, se uma partícula está em repolso, significa que ela está parada, logo, sua velocidade é nula.

Isso acontece quando v t = 0 , ou seja

v t = 0,04 t 3 - 0,12 t 2 = 0

t 2 0,04 t - 0,12 = 0

Ou seja, ou t = 0 , ou 0,04 t - 0,12 = 0

t = 0 s

t = 0,12 0,04 = 3 s

Vimos dois instantes em que a partícula está parada... t = 0 s e t = 3 s .

Já no item d) queremos saber quando a partícula está se movendo no sentido positivo, ou seja, quando v t > 0

0,04 t 3 - 0,12 t 2 > 0

t 2 0,04 t - 0,12 > 0

Descartando valores negativos, essa inequação só é satisfeita quando t > 3 s .

Tranquilo até aqui?

Passo 4

No item e) queremos saber qual a distancia percorrida nos primeiros 8 segundos...

Pra isso vamos usar a função f t e substituímos t = 8 s

f t = 0,01 t 4 - 0,04 t 3 → f 8 = 0,01 8 4 - 0,04 8 3

f 8 = 20,48 m

Bora continuar!

Passo 5

No item f) queremos ilustrar um gráfico que represente o movimento da matricula...

Vimos que em t = 0 s e em t = 3 s a partícula está em repolso, ou seja, v t = 0 .

Tambem vimos que em t > 3 s o movimento é positivo, então s é crescente.

Em t = 8 s , s = 20,48 m

Com isso já sabemos de três informações importantes, agora vamos determinar mais alguns pontos da nossa curva...

Em t = 1 .

f 1 = 0,01 1 4 - 0,04 1 3 = - 0,03 m

Em t = 2 s .

f 2 = 0,01 2 4 - 0,04 2 3 = - 0,16 m

Em t = 3 s .

f 3 = 0,01 3 4 - 0,04 3 3 = - 0 , 27 m

Em t = 4 s

f 4 = 0,01 4 4 - 0,04 4 3 = 0 m

Com essas informações, podemos esboçar o iagrama como

s

Bacana, não é?

Passo 6

No item g) queremos encontrar a função aceleração e a aceleração em t = 3 s .

Como vimos no passo 1.

a = d v d t

Se v t = 0,04 t 3 - 0,12 t 2 , então

a t = d 0,04 t 3 - 0,12 t 2 d t

Pela regra da potência...

a t = 3 · 0,04 t 3 - 1 - 2 · 0,12 t 2 - 1

a t = 0 , 12 t 2 - 0 , 24 t

Substituindo t = 3 s , temos que a aceleração nesse instante é

a 3 = 0,12 3 2 - 0,24 3

a 3 = 0,36 m / s 2

Estamos quase no fim!

Passo 7

No item h), o problema pediu pra plotar os gráficos de f t , v t e a t usando uma ferramenta gráfica...

Em preto temos f t , em verde v t e em azul a t

Show de bola?

Passo 8

Por fim, no item i) queremos determinar os intervalos em que a é positivo e negativo.

Se a t = 0,12 t 2 - 0,24 t , a será positivo se

a t = 0,12 t 2 - 0,24 t > 0

t 0,12 t - 0,24 > 0

Ou seja, t e 0,12 t - 0,24 tem que ser > 0 , logo

t > 0,24 0,12 = 2 s

A aceleração é positiva quando t > 2 s e é negativa quando 0 s < t < 2 s .

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a) v t = 0,04 t 3 - 0,12 t 2

b) v 3 = 0   m / s

c) t = 0 s e t = 3 s

d) t > 3 s

e) f 8 = 20,48 m

f)

g) a t = 0,12 t 2 - 0,24 t , a 3 = 0,36 m / s 2

h)

i) a > 0 ,   t > 2 s e a < 0 ,   0 s < t < 2 s .

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