Responde Aí

Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = e x x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não está definida no 0 . Dessa forma, nosso domínio é - ∞ ,   0 ∪ ( 0 ,   ∞ ) .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre em f 0 Como 0 está fora do domínio, então nossa função não intercepta o eixo y . Nossa função não intercepta o eixo x , devido ao fato de ser uma exponencial.

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x → ± ∞ o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

lim x → 0 ⁡ e x x = ∞

Dessa forma, em x = 0 temos uma assíntota vertical.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = x e x - e x x 2 = e x ( x - 1 ) x 2

f ' ( x ) é positiva em x > 1 e negativa em x < 1 . Dessa forma, nossa função está decrescendo entre ( - ∞ ,   1 ) e crescendo entre (1, ∞ ) .

  ( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função possui um ponto crítico em 1 . Dessa forma, a função possui um valor de mínimo local que é

f 1 = e

E não possui valor de máximo local.

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = x 2 e x + x e x - e x - ( x e x - e x ) 2 x x 4 = e x ( x 2 - 2 x + 2 ) x 3

Para f ' ' x > 0 , temos

x 2 - 2 x + 2 > 0

Concavidade para cima quando x > 2 e x < - 2

Concavidade para baixo quando x > - 2 e x < 2 .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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