Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = (e^x)/(x)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não está definida no 0 . Dessa forma, nosso domínio é (- oo , 0) uu ( 0 , oo ) .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre em f (0) Como 0 está fora do domínio, então nossa função não intercepta o eixo y . Nossa função não intercepta o eixo x , devido ao fato de ser uma exponencial.

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x -> +- oo o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

underset(x -> 0)(lim) (e^x)/(x) = oo

Dessa forma, em x = 0 temos uma assíntota vertical.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = (x e^x - e^x)/(x^2) = (e^x ( x - 1 ))/(x^2)

f^' ( x ) é positiva em x > 1 e negativa em x < 1 . Dessa forma, nossa função está decrescendo entre ( - oo , 1 ) e crescendo entre (1, oo ) .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função possui um ponto crítico em 1 . Dessa forma, a função possui um valor de mínimo local que é

f (1) = e

E não possui valor de máximo local.

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = (x^2 (e^x + x e^x - e^x) - ( x e^x - e^x ) (2 x))/(x^4) = (e^x ( x^2 - 2 x + 2 ))/(x^3)

Para f^(' ') (x) > 0 , temos

x^2 - 2 x + 2 > 0

Concavidade para cima quando x > 2 e x < - 2

Concavidade para baixo quando x > - 2 e x < 2 .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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