Derive a função

f(x) = log_2(1 - 3x)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f ( x ) = log 2 ⁡ ( 1 - 3 x )

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Também precisaremos da Regra da Potência onde temos que se:

f x = x n

Onde n é uma constante.

Então:

f ' x = n x n - 1

Mas antes de tudo, temos que simplificar um pouco a nossa função para aplicarmos essas regrinhas.

Passo 2

Temos a seguinte propriedade dos logaritmos:

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Assim, aplicando na nossa função, temos:

f x = log 2 ⁡ 1 - 3 x = ln ⁡ 1 - 3 x ln ⁡ 2

Aplicando a derivada, temos:

f ' x = d d x ln ⁡ 1 - 3 x ln ⁡ 2

Retirando a constante para fora da derivada, temos:

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * d d x ln ⁡ 1 - 3 x

Agora sim podemos aplicar as regrinhas! 😉

Passo 3

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo u = 1 - 3 x , temos:

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * d d u ln ⁡ u d d x 1 - 3 x ∴

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * 1 u * d d x 1 - 3 x ∴

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * 1 1 - 3 x * d d x 1 - 3 x

Passo 4

Resolvendo a derivada que nos restou, temos:

d d x 1 - 3 x = d d x 1 - d d x 3 x ∴

d d x 1 - 3 x = 0 - 3 x 1 - 1 ∴

d d x 1 - 3 x = - 3

Aplicando em f ' x :

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * 1 1 - 3 x * - 3 ∴

f ' x = - 3 ln ⁡ 2 1 - 3 x

Resposta

f ' x = - 3 ln ⁡ 2 1 - 3 x

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