Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = (1 + e^x)^(-2)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não possui restrições em nenhum ponto, portanto seu domínio é o conjunto de números reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = 1 4 . Nossa função não intercepta o eixo x , devido ao fato de ser uma exponencial.

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas verticais. Isso ocorre pois em nenhum ponto de x temos o valor de y indo para ± ∞ . Em compensação, quando calculamos o limite

y = lim x → ∞ ⁡ 1 + e x - 2 = 0

E o limite

y = lim x → - ∞ ⁡ 1 + e x - 2 = 1

Vemos que quando x vai para ± ∞ temos um valor definido. Assim, temos assíntotas horizontais em y = 1 e em y = 0 .

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = - 2 1 + e x - 3 e x = - 2 e x 1 + e x 3

f ' ( x ) é negativa em todos os valores de x . Dessa forma, nossa função está decrescendo de - ∞ até .

  ( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função não possui pontos críticos, portanto, não possui valores de máximo e mínimo.

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = 1 + e x 3 - 2 e x + 2 e x ( 3 ) 1 + e x 2 e x 1 + e x 3 2 = - 2 e x ( 1 - 2 e x ) 1 + e x 4

Para f ' ' x > 0 , temos

1 - 2 e x < 0

e x > 1 2 o u   x > ln ⁡ 1 2

Concavidade para cima quando x > ln ⁡ 1 2

Concavidade para baixo quando x < ln ⁡ 1 2 .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

O ponto de inflexão é ln ⁡ 1 2 ,   f ( ln ⁡ 1 2 ) = ln ⁡ 1 2 ,   4 9

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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