Enunciado

Encontre d y // d x por derivação implícita.

e^(x // y) = x - y

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

e^(x // y) = x - y

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar (d y)/(d x) de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depende de x e também deve ser derivado!!!

Assim, utilizando a regra da cadeia, teremos que:

(f (y))^' = f^' (y) * y '

Derivando a equação e^(x // y) = x - y com relação a x , temos que

e^(x // y) * ((x)/(y))^' = 1 - y '

Assim,

e^((x)/(y)) * (1 * y - x * y^')/(y^2) = 1 - y '

Fazendo o denominador comum no lado esquerdo, temos que

(e^(x // y))/(y^2) (y - x y^') = 1 - y '

Multiplicando em cruz e fazendo a distributiva:

e^(x // y) y - e^(x // y) x y^' = y^2 - y^2 y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y^' (y^2 - e^(x // y) x) = y^2 - e^(x // y) y

y^' = (y^2 - e^(x // y) y)/(y^2 - e^(x // y) x)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(d y)/(d x) = (y^2 - e^(x // y) y)/(y^2 - e^(x // y) x)

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