Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = ln ( x^2 - 3 x + 2 )

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em x^2 - 3 x + 2 > 0 . Solucionando a equação de segundo grau, podemos ver que nosso domínio é (- oo , 1) uu ( 2 , oo ) .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f (0) = ln 2 . Nossa função intercepta o eixo x em f (x) = 0 .

ln ( x^2 - 3 x + 2 ) = 0

x^2 - 3 x + 2 = e^0

Solucionando a equação, temos

x = (3 +- sqrt(5))/(2)

Dessa forma, nossa função intercepta o eixo x em x = 0.38 e x = 2.62

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x -> +- oo o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

underset(x -> 1 -)(lim) f ( x ) = underset(x -> 2 +)(lim) f ( x ) = - oo

Dessa forma, em x = 1 e x = 2 temos uma assíntota vertical.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = (2 x - 3)/(x^2 - 3 x + 2)

f^' (x) > 0 para x > 2 e f^' (x) < 0 para x < 1 . Assim, nossa função está crescendo em ( 2 , oo ) e decrescendo em ( - oo , 1 ) .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função não possui pontos críticos, portanto, não possui valores de máximo e mínimo.

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = (2 (x^2 - 3 x + 2) - ( 2 x - 3 ) (2 x - 3))/((x^2 - 3 x + 2)^2) = (- 2 x^2 + 6 x - 5)/((x^2 - 3 x + 2)^2)

Para todos os valores de x o numerador é negativo e o denominador positivo, assim

Concavidade para baixo em (- oo , 1) uu ( 2 , oo ) .

Isso ocorre pois f^(' ') ( x ) é sempre negativa.

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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