Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = x - ln x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não está definida entre ( - oo , 0 ) , pois ln x não está definida nesses pontos. Assim, nosso domínio é ( 0 , oo ) .

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre em f (0) . Como 0 está fora do domínio, então a função não intercepta o eixo y . Nossa função não intercepta o eixo x , pois isso ocorre quando f (x) = 0 .

x - ln x = 0

x = ln x

Como não há solução, não há interseção no eixo x .

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x -> +- oo o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

underset(x -> 0 +)(lim) x - ln x = oo

Dessa forma, em x = 0 temos uma assíntota vertical.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = 1 - (1)/(x)

f^' (x) > 0 quando

1 - (1)/(x) > 0

1 > (1)/(x)

x > 1

Então, f ( x ) está crescendo no intervalo (1 , oo) e decrescendo no intervalo (0 , 1) .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função só possui um ponto crítico, que é 1 . Aplicando 1 na nossa função, temos

f (1) = 1 - ln 1 = 1

E é um valor de mínimo local. Não há valor de máximo local

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = (1)/(x^2)

(1)/(x^2) é maior que 0 em todos os pontos do domínio. Assim, nossa função possui a concavidade para cima em todos os pontos e não possui ponto de inflexão.

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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