Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 49
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome ).
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! Devemos calcular a seguinte integral:
O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!
Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um, podemos então usar a mudança de variável:
Dica: o melhor é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de deve esta dentro da integral.
Derivamos:
Fazendo a substituição , a integral fica:
Passo 2
Agora integramos:
Voltando a variável original:
Passo 3
Agora a gente deve fazer o gráfico da função e da sua primitiva:
Tomando , em vermelho fazemos o gráfico da função e em azul o de sua primitiva:
Como a função se comporta como a derivada de sua primitiva, note que quando a curva vermelha é positiva, a curva é crescente, enquanto na região que a curva vermelha é negativa, a curva azul é decrescente. Além disso, nos pontos que a curva vermelha se anula, a curva azul tem tangente horizontal.