Enunciado

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ).

∫ x   x 2 - 1 3   d x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Devemos calcular a seguinte integral:

∫ x   x 2 - 1 3   d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x , podemos então usar a mudança de variável:

u = x 2 - 1

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

Derivamos:

d u d x = 2 x → d x = 1 2 x d u

Fazendo a substituição u = x 2 - 1 , a integral fica:

∫ x   x 2 - 1 3   d x = ∫ x   u 3   1 2 x d u

∫ 1 2 u 3 d u = 1 2 ∫ u 3 d u

Passo 2

Agora integramos:

1 2 ∫ u 3 d u = 1 2 u 4 4 + C

Voltando a variável original:

∫ x   x 2 - 1 3   d x = 1 8   x 2 - 1 4 + C

Passo 3

Agora a gente deve fazer o gráfico da função e da sua primitiva:

f x = x   x 2 - 1 3

F x = 1 8   x 2 - 1 4

Tomando C = 0 , em vermelho fazemos o gráfico da função e em azul o de sua primitiva:

Como a função se comporta como a derivada de sua primitiva, note que quando a curva vermelha é positiva, a curva é crescente, enquanto na região que a curva vermelha é negativa, a curva azul é decrescente. Além disso, nos pontos que a curva vermelha se anula, a curva azul tem tangente horizontal.

Resposta

1 8   x 2 - 1 4 + C

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h) ∫ 0 1 1 1 + 4 s d s
q)∫ 0 π 6 cos ⁡ x s e n 5 x d x
j) ∫ 0 1 s s 2 + 1d s
d) ∫ 0 1 x1 - x 2d x
c) ∫ 1 2 x x 2 - 1 5d x