Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 16
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Passo 2
Como o denominador não pode se anular, devemos ter e . Assim,
Passo 3
Podemos reescrever a função como
Como não tem raízes e não está no domínio da função, a curva não intersecta nenhum dos eixos coordenados.
Passo 4
A função não é nem par nem ímpar, de modo que não tem nenhum tipo de simetria.
Passo 5
Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:
Assim, tanto para como para , a reta é assíntota horizontal para a função.
Como não está no domínio da função, temos que verificar se essa reta é assíntota vertical. De fato,
Assim, a reta é assíntota vertical da função.
Passo 6
Para os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos da derivada da função. Assim,
O sinal de será:
Assim, o ponto é ponto de mínimo local. Note que não é ponto de máximo pois ele não pertence ao domínio da função.
Passo 7
No estudo da concavidade, precisamos de :
Como , segue que o sinal de vai depender apenas de :
O ponto será ponto de inflexão.
Resposta
O esboço da curva: