Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x != 0 e x^2 != 0 . Assim,

D_f = R - { 0 }

Passo 3

Podemos reescrever a função como

y = (x^2 + x + 1)/(x^2)

Como x^2 + x + 1 = 0 não tem raízes e x = 0 não está no domínio da função, a curva não intersecta nenhum dos eixos coordenados.

Passo 4

A função não é nem par nem ímpar, de modo que não tem nenhum tipo de simetria.

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:

underset(x -> - oo)(lim) 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) = underset(x -> + oo)(lim) 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) = 1 + 0 + 0 = 1

Assim, tanto para - oo como para + oo , a reta y = 1 é assíntota horizontal para a função.

Como x = 0 não está no domínio da função, temos que verificar se essa reta é assíntota vertical. De fato,

underset(x -> 0^-)(lim) (x^2 + x + 1)/(x^2) = (1)/(0^+) = + oo

underset(x -> 0^+)(lim) (x^2 + x + 1)/(x^2) = (1)/(0^+) = + oo

Assim, a reta x = 0 é assíntota vertical da função.

Passo 6

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos da derivada da função. Assim,

y^' = 0 - (1)/(x^2) - (2)/(x^3) = - (x + 2)/(x^3)

O sinal de y ' será:

Assim, o ponto (- 2 , (3)/(4)) é ponto de mínimo local. Note que x = 0 não é ponto de máximo pois ele não pertence ao domínio da função.

Passo 7

No estudo da concavidade, precisamos de y ' ' :

y^(' ') = (2)/(x^3) + (6)/(x^4) = (2 x + 6)/(x^4) = (2 ( x + 3 ))/(x^4)

Como x^4 > 0 , segue que o sinal de y ' ' vai depender apenas de x + 3 :

O ponto (- 3 , (13)/(9)) será ponto de inflexão.

Resposta

O esboço da curva:

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = e x
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,0 ≤ x2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,0x ≤ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 - x s e0 ≤ x2 2 x - 4 s e2 ≤ x ≤ 3
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f t = 1 t,01t