Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = x \* e^((-x)^2)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em todos os valores de x e não possui indeterminação. Portanto, nosso domínio é o conjunto dos reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = 0 . Nossa função intercepta o eixo x em f x = 0 .

( C ) Simetria

Nossa função é simétrica em relação a origem.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas verticais. Isso ocorre pois em nenhum ponto de x temos o valor de y indo para ± ∞ . Em compensação, quando calculamos o limite

y = lim x → ∞ ⁡ x e - x 2 = 0

E o limite

y = lim x → - ∞ ⁡ x e - x 2 = 0

Vemos que quando x vai para ± ∞ temos um valor definido. Assim, temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = e - x 2 - 2 x 2 e - x 2 = e - x 2 ( 1 - 2 x 2 )

f ' x > 0   para 1 - 2 x 2 > 0 , assim

f ( x ) está crescendo em - 1 2 ,   1 2

f ( x ) está decrescendo em - ∞ , -   1 2 e 1 2 ,   ∞ .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função possui ± 1 2 como ponto crítico, portanto,

f 1 2 = 1 2 e

Que é um ponto de máximo local e

f - 1 2 = - 1 2 e

Que é um ponto de mínimo local.

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = - 2 x 2 e - x 2 1 - 2 x 2 - 4 x e - x 2 = 2 x e - x 2 ( 2 x 2 - 3 )

f ' ' x > 0 para 2 x 2 - 3 > 0 . Assim, temos

Concavidade para cima entre 3 2 ,   ∞   e   - 3 2 ,   0

Concavidade para baixo entre - ∞ ,   - 3 2 , e 0 ,   3 2 .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

Os pontos de inflexão são 0   0 e ± 3 2 ,   3 2 e - 3 2 .

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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