Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = x e^(- x^2)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em todos os valores de x e não possui indeterminação. Portanto, nosso domínio é o conjunto dos reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f (0) = 0 . Nossa função intercepta o eixo x em f (x) = 0 .

( C ) Simetria

Nossa função é simétrica em relação a origem.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas verticais. Isso ocorre pois em nenhum ponto de x temos o valor de y indo para +- oo . Em compensação, quando calculamos o limite

y = underset(x -> oo)(lim) x e^(- x^2) = 0

E o limite

y = underset(x -> - oo)(lim) x e^(- x^2) = 0

Vemos que quando x vai para +- oo temos um valor definido. Assim, temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = e^(- x^2) - 2 x^2 e^(- x^2) = e^(- x^2) ( 1 - 2 x^2 )

f^' (x) > 0 para 1 - 2 x^2 > 0 , assim

f ( x ) está crescendo em (- (1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2)))

f ( x ) está decrescendo em (- oo , - (1)/(sqrt(2))) e ((1)/(sqrt(2)) , oo) .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

A função possui +- (1)/(sqrt(2)) como ponto crítico, portanto,

f ((1)/(sqrt(2))) = (1)/(sqrt(2 e))

Que é um ponto de máximo local e

f (- (1)/(sqrt(2))) = - (1)/(sqrt(2 e))

Que é um ponto de mínimo local.

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = - 2 x^2 e^(- x^2) (1 - 2 x^2) - 4 x e^(- x^2) = 2 x e^(- x^2) ( 2 x^2 - 3 )

f^(' ') (x) > 0 para 2 x^2 - 3 > 0 . Assim, temos

Concavidade para cima entre (sqrt((3)/(2)) , oo) e (- sqrt((3)/(2)) , 0)

Concavidade para baixo entre (- oo , - sqrt((3)/(2)) ,) e (0 , sqrt((3)/(2))) .

Isso ocorre pois todos os outros fatores são positivos.

Os pontos de inflexão são (0 0) e (+- sqrt((3)/(2)) , sqrt((3)/(2)) e^(- (3)/(2))) .

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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