Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = a r c t g (e^x)

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Assim, temos o domínio de x é o dos reais:

D = I R

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .Assim, temos que:

f (0) = a r c t g (e^0) = a r c t g (1) = (pi)/(4)

0 = a r t c t g (e^x) => n ã o e x i s t e p o i s f (x) > 0

Logo a função não intercepta o eixo x . Podemos colocar o ponto (0 , (pi)/(4)) no nosso gráfico:

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando x = 1 , temos:

  1. f (- 1) = f (1) => a r c t g (e^(- 1)) != a r c t g (e^1)
  2. f (- 1) = - f (1) => a r c t g (e^(- 1)) != - a r c t g (e^1)
  3. Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se underset(x -> oo)(lim) f (x) = L e underset(x -> - oo)(lim) f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que underset(x -> oo)(lim) f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = oo

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = - oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = - oo

Temos:

underset(x -> oo)(lim) a r c t g (e^x) = (pi)/(2)

underset(x -> - oo)(lim) a r c t g (e^x) = 0

Assim, temos duas assíntotas horizontais, uma em y = (pi)/(2) e outra em y = 0 .

Não possuímos valores para analizar que se enquadre no caso da assíntota vertical ( x = a ) . Logo a função não possui assíntota vertical.

Podemos desenhar y = pi // 2 e y = 0 no nosso gráfico pra ajudar com o esboço depois:

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f^' (x) = (1)/(1 + (e^x)^2) (d)/(d x) e^x = (e^x)/(1 + e^(2 x)) > 0

Então, f é crescente em ( - oo , oo ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => (e^x)/(1 + e^(2 x)) = 0

Observamos que a equação se anula, logo não há pontos críticos.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^' (x) = (e^x)/(1 + e^(2 x)) => f^(' ') (x) = (e^x (1 + e^(2 x)) - 2 e^(2 x) e^x)/((1 + e^(2 x))^2) = (e^x [ (1 + e^(2 x)) - 2 e^(2 x) ])/((1 + e^(2 x))^2) =

= (e^x (1 - e^(2 x)))/((1 + e^(2 x))^2) > 0

Por consequência:

1 - e^(2 x) > 0 => e^(2 x) < 1 => ln (e^(2 x)) < ln 1 => 2 x < 0 => x < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 0 , oo ) e côncava para cima com x no intervalo ( - oo , 0 ) .

Passo 8

Já deu pra entender mais ou menos o comportamento da nossa função, mas pra facilitar o desenho podemos calcular mais dois pontos:

y = a r c t g (e^2) = 0,134

y = a r c t g (e^(- 2)) = 1,43

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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