Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = arctg e^x

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D   de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Assim, temos o domínio de x é o dos reais:

D = I R

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .Assim, temos que:

f 0 = a r c t g   e 0 = a r c t g   1 = π 4

0 = a r t c t g e x ⇒ n ã o   e x i s t e   p o i s   f x > 0      

Logo a função não intercepta o eixo x . Podemos colocar o ponto 0 , π 4 no nosso gráfico:

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f - x = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x ≥ 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f - x = - f x para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x ≥ 0   em 180   g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f x + p = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando x = 1 ,   temos:

  1. f - 1 = f 1 ⇒ a r c t g e - 1 ≠ a r c t g e 1
  2. f - 1 = - f 1 ⇒ a r c t g e - 1 ≠ - a r c t g e 1
  3. Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se lim x → ∞ ⁡ f x = L     e lim x → - ∞ ⁡ f x = L ,   então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que lim x → ∞ ⁡ f x = ∞   ( o u - ∞ ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

lim x → a + ⁡ f x = ∞                                                         lim x → a - ⁡ f x = ∞

lim x → a + ⁡ f x =   - ∞                                                   lim x → a - ⁡ f x =   - ∞

Temos:

lim x → ∞ ⁡ a r c t g e x = π 2

lim x → - ∞ ⁡ a r c t g e x = 0

Assim, temos duas assíntotas horizontais, uma em y = π 2 e outra em y = 0 .

Não possuímos valores para analizar que se enquadre no caso da assíntota vertical ( x = a ) . Logo a função não possui assíntota vertical.

Podemos desenhar y = π / 2 e y = 0 no nosso gráfico pra ajudar com o esboço depois:

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f ' x = 1 1 + e x 2 d d x e x   = e x 1 + e 2 x   > 0

Então, f é crescente em ( - ∞ , ∞ ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' c = 0 ou f ' c n ã o   e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f ' x = 0 ⇒ e x 1 + e 2 x = 0

Observamos que a equação se anula, logo não há pontos críticos.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f ' ' x > 0 a função é côncava para cima e se f ' ' x < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f ' x = e x 1 + e 2 x ⇒ f ' ' x =   e x 1 + e 2 x - 2 e 2 x e x 1 + e 2 x 2 = e x [ 1 + e 2 x - 2 e 2 x ] 1 + e 2 x 2 =

= e x 1 - e 2 x 1 + e 2 x 2 > 0

Por consequência:

1 - e 2 x > 0 ⇒ e 2 x < 1 ⇒ ln ⁡ e 2 x < ln ⁡ 1 ⇒ 2 x < 0 ⇒ x < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 0 , ∞ ) e côncava para cima com x no intervalo ( - ∞ , 0 ) .

Passo 8

Já deu pra entender mais ou menos o comportamento da nossa função, mas pra facilitar o desenho podemos calcular mais dois pontos:

y = a r c t g   e 2 = 0,134

y = a r c t g   e - 2 = 1,43

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

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