Enunciado

Mostre que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória com a distribuição normal tem pontos de inflexão em x = μ ± σ .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória com a distribuição normal tem pontos de inflexão em x = μ ± σ .

A função densidade de probabilidade é dada por:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x   d x

Mas nós temos uma variável aleatória X com distribuição normal, isso significa que a função densidade de probabilidade é um membro de uma família de funções:

f x = 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2

Onde μ é uma média para essa função e σ é chamado de desvio padrão.

Como a gente quer encontrar os pontos de inflexão, para verificar se eles estão em x = μ ± σ , então vamos precisar calcular as derivadas dessa função. Assim, analisando o sinal da segunda derivada, vamos encontrar os intervalos de concavidade da função e, consequentemente, seu ponto de inflexão (que é o ponto em que a função muda de concavidade).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de f ( x ) . Usando a regra da cadeia, temos:

  f ' x =   1 σ 2 π e - ( x - μ ) 2 / 2 σ 2 - 2 x - μ 2 σ 2

E simplificando:

f ' x =   - 1 σ 3 2 π e - ( x - μ ) 2 / 2 σ 2 ( x - μ )

Agora vamos derivar novamente, para obter a segunda derivada da função:

f ' ' ( x ) = - 1 σ 3 2 π e - ( x - μ ) 2 / 2 σ 2 . 1 + ( x - μ ) e - ( x - μ ) 2 / 2 σ 2 - 2 ( x - μ ) 2 σ 2  

Simplificando, temos:

f ' ' x = - 1 σ 3 2 π e - ( x - μ ) 2 / 2 σ 2 1 - ( x - μ ) 2 σ 2

f ' ' ( x ) = - 1 σ 5 2 π e - ( x - μ ) 2 / 2 σ 2 ( x - μ ) 2 - σ 2

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal dessa segunda derivada.

Para f ' ' x > 0 temos:

x - μ 2 - σ 2 < 0

→ x - μ < σ

→ - σ < x - μ < σ

→ μ - σ < x < μ + σ

E similarmente, para f ' ' ( x ) < 0 temos:

x < μ - σ   o u   x > μ + σ

Portanto, como ocorre essa mudança de concavidade na função, podemos dizer que f tem pontos de inflexão em x = μ ± σ . Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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