Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = (1 - x) e^x

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida.

Assim, temos que:

D = I R

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f (0) = (1 - 0) e^0 = 1

0 = (1 - x) e^x => e^x - x e^x = 0 => x = 1

Logo ambos os eixos são interceptados em 1 .

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Tomando x = 1 , temos:

  1. f (- 1) = f (1) => (1 - (- 1)) e^(- 1) = (1 - 1) e^1 => (2)/(e) != 0
  2. f (- 1) = - f (1) => (- 1 - (- 1)) e^(- 1) = - ((1 - 1) e^1) => (2)/(e) != 0
  3. Não possui período.

Logo a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se underset(x -> oo)(lim) f (x) = L e underset(x -> - oo)(lim) f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que underset(x -> oo)(lim) f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = oo

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = - oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = - oo

Temos:

underset(x -> oo)(lim) (1 - x) e^x = underset(x -> oo)(lim) 1 - x xx underset(x -> oo)(lim) e^x = - oo

underset(x -> - oo)(lim) (1 - x) e^x = underset(x -> - oo)(lim) 1 - x xx underset(x -> - oo)(lim) e^x = oo xx 0 = 0

Assim, há assíntota horizontal em y = 0 .

Não possuímos valores para analizar que se enquadre no caso da assíntota vertical ( x = a ) . Logo a função não possui assíntota vertical.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f^' (x) = - e^x + e^x (1 - x) = - e^x + e^x - x e^x = - x e^x < 0

Por consequência:

x > 0

Assim f é decrescente em (0 , oo) e crescente em ( - oo , 0 ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => - x e^x = 0

Observamos que a equação se anula, logo não há pontos críticos.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^' (x) = - x e^x => f^(' ') (x) = - e^x + e^x (- x) = - e^x - x e^x < 0

Por consequência:

- x e^x < e^x => - x < 1 => x > - 1

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( - 1 , oo ) e côncava para cima com x nos intervalos ( - oo , - 1 ) .

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce o gráfico.f ( x ) = (x^2)/(x^2 - x - 2)
Esboce o gráfico. y = x - 1 x 2
Esboce o gráfico.y = (x^2 - x + 1)/(x^2)
Esboce o gráfico. f x = x 3 - x 3
Esboce o gráfico. y = x x + 1