Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = 2 sqrt(x) - x

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que não existe raiz real de números negativos, logo:

x >= 0

Assim, temos que:

D = {x in I R| x >= 0 } = [ 0 , oo )

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f (0) = 2 sqrt(0) - 0 = 0

0 = 2 sqrt(x) - x => 2 x^((1)/(2)) - x = 0 => 2 = (x)/(x^((1)/(2))) => x^((1)/(2)) = 2 => x = 4

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Como a função não pode assumir valores para f ( - x ) e não possui período, concluímos que a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se underset(x -> oo)(lim) f (x) = L e underset(x -> - oo)(lim) f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que underset(x -> oo)(lim) f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = oo

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = - oo underset(x -> a^-)(lim) f (x) = - oo

Temos:

underset(x -> oo)(lim) 2 sqrt(x) - x = oo

Assim, não há assíntota horizontal e não possuímos valores para analizar que se enquadre no caso da assíntota vertical ( x = a ) . Logo a função não possui assíntota.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f^' (x) = (1)/(sqrt(x)) - 1 < 0

Então, f é decrescente em ( 0 , oo ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => (1)/(sqrt(x)) - 1 = 0 => (1)/(sqrt(x)) = 1 => x = 1

Vamos então analisar um ponto antes e depois de x = 1 :

  1. x = 0 => f (0) = 0
  2. x = 1 => f (1) = 1
  3. x = 2 => f (2) tildetilde 0,828

Logo a função cresce antes de 1 e decresce depois dele, sendo então um ponto de maxímo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^' (x) = (1)/(sqrt(x)) - 1 => f^(' ') (x) = (sqrt(x) - (1)/(2 sqrt(x)))/(x) = ((2 x - 1)/(2 sqrt(x)))/(x) = (2 x - 1)/(2 x sqrt(x)) < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 0 , oo ) .

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce o gráfico.y = sqrt(x^2 + 2 x + 5)