Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = 2\*raiz(x) - x

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D   de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida. Temos neste caso que não existe raiz real de números negativos, logo:

x ≥ 0

Assim, temos que:

D = x ∈ I R x ≥ 0 } = [ 0 , ∞ )

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f 0 = 2 0 - 0 = 0

0 = 2 x - x ⇒ 2 x 1 2 - x = 0 ⇒ 2 = x x 1 2 ⇒ x 1 2 = 2 ⇒ x = 4      

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f - x = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x ≥ 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f - x = - f x para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x ≥ 0   em 180   g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f x + p = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Como a função não pode assumir valores para f ( - x ) e não possui período, concluímos que a função não possui simetria.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se lim x → ∞ ⁡ f x = L     e lim x → - ∞ ⁡ f x = L ,   então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que lim x → ∞ ⁡ f x = ∞   ( o u - ∞ ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

lim x → a + ⁡ f x = ∞                                                         lim x → a - ⁡ f x = ∞

lim x → a + ⁡ f x =   - ∞                                                   lim x → a - ⁡ f x =   - ∞

Temos:

lim x → ∞ ⁡ 2 x - x   = ∞

Assim, não há assíntota horizontal e não possuímos valores para analizar que se enquadre no caso da assíntota vertical ( x = a ) . Logo a função não possui assíntota.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando temos:

f ' x = 1 x - 1 < 0  

Então, f é decrescente em ( 0 , ∞ ) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' c = 0 ou f ' c n ã o   e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para postiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f ' x = 0 ⇒ 1 x - 1 = 0 ⇒ 1 x = 1 ⇒ x = 1

Vamos então analisar um ponto antes e depois de x = 1 :

  1. x = 0 ⇒ f 0 = 0
  2. x = 1 ⇒ f 1 = 1
  3. x = 2 ⇒ f 2 ≈ 0,828

Logo a função cresce antes de 1 e decresce depois dele, sendo então um ponto de maxímo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f ' ' x > 0 a função é côncava para cima e se f ' ' x < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f ' x = 1 x - 1 ⇒ f ' ' x = x - 1 2 x x = 2 x - 1 2 x x = 2 x - 1 2 x x < 0

Então f é côncava para baixo com x no intervalo de ( 0 , ∞ ) .

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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