Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 27
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
Como não temos nenhuma restrição, o domínio da nossa função será
Passo 2
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.
Se :
Se
Passando para o outro lado e elevando ao cubo:
ou
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Logo,
Com . Então nossa função será ímpar, isto é, possui simetria com relação a origem.
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
Como a função cresce muito mais devagar que a função , podemos despreza-la. Assim,
Agora vamos analisar para
Fazendo a mesma simplificação:
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Assim,
Isto é,
Para ;
Elevando ao cubo:
Resolvendo a inequação:
ou
Logo, nossa função é crescente no intervalo ou
Para :
Elevando ao cubo:
Resolvendo a inequação:
Assim, vemos que a curva será decrescente entre os pontos e .
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
Passando para o outro lado e elevando ao cubo:
Logo,
Passo 7
Agora vamos analisar a concavidade nesses pontos que encontramos no Passo 6. Para isso, vamos ver o sinal de nesse ponto.
Derivando,
Então, temos o seguinte;
concavidade para cima
concavidade para baixo
Para acharmos a resposta, basta esboçarmos o gráfico usando as informações acima.