Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = x - 3 x^((1)/(3))

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = x - 3 x^((1)/(3))

Como não temos nenhuma restrição, o domínio da nossa função será x in R

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

y = x - 3 x^((1)/(3))

Se x = 0 :

y = 0

Se y = 0

x - 3 x^((1)/(3)) = 0

Passando para o outro lado e elevando ao cubo:

x^3 = 27 x -> x = 0 ou x = 3 sqrt(3)

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = x - 3 x^((1)/(3))

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = (- x) - 3 ( - x )^((1)/(3))

Logo,

f (- x) = - (x - 3 x^((1)/(3)))

Com f (x) = - f ( - x ) . Então nossa função será ímpar, isto é, possui simetria com relação a origem.

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:

L = underset(x -> oo)(lim) x - 3 x^((1)/(3))

Como a função - 3 x^(1 // 3) cresce muito mais devagar que a função x^1 , podemos despreza-la. Assim,

L = underset(x -> oo)(lim) x -> L = oo

Agora vamos analisar para x -> - oo

L = underset(x -> - oo)(lim) x - 3 x^((1)/(3))

Fazendo a mesma simplificação:

L = underset(x -> - oo)(lim) x -> L = - oo

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = x - 3 x^((1)/(3))

Assim,

f^' (x) = 1 - 3 * (1)/(3) x^(- 2 // 3)

Isto é,

f^' (x) = 1 - (1)/(root(3)(x^2))

Para f^' (x) > 0 ;

1 - (1)/(root(3)(x^2)) > 0 -> root(3)(x^2) > 1

Elevando ao cubo:

x^2 - 1 > 0

Resolvendo a inequação:

x > 1 ou x < 1

Logo, nossa função é crescente no intervalo x > 1 ou x < 1

Para f^' (x) < 0 :

1 - (1)/(root(3)(x^2)) < 0 -> root(3)(x^2) < 1

Elevando ao cubo:

x^2 - 1 < 0

Resolvendo a inequação:

- 1 < x < 1

Assim, vemos que a curva será decrescente entre os pontos - 1 e 1 .

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

1 - (1)/(root(3)(x^2)) = 0

Passando para o outro lado e elevando ao cubo:

1 = (1)/(x^2)

Logo,

x^2 = 1 -> x = +- 1

Passo 7

Agora vamos analisar a concavidade nesses pontos que encontramos no Passo 6. Para isso, vamos ver o sinal de f ' ' nesse ponto.

f^' (x) = 1 - (1)/(root(3)(x^2))

Derivando,

f^(' ') (x) = (2)/(3 x root(3)(x^2))

Então, temos o seguinte;

f^(' ') (1) = (2)/(3) > 0 -> concavidade para cima

f^(' ') (- 1) = - (2)/(3) < 0 -> concavidade para baixo

Para acharmos a resposta, basta esboçarmos o gráfico usando as informações acima.

Resposta

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