Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Se fizermos x = 0 + :

L = 0 × ln ⁡ 0 +

Isto é,

L = 0 × - ∞

Opa, chegamos numa indeterminação o tipo 0 × - ∞ . Assim, vamos arrumar nosso limite para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

L = lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Passando o ln ⁡ x para dentro da raiz, chegamos no seguinte:

L = lim x → 0 + ⁡ x  ln 2 ⁡ x

Então, basta calcularmos o limite do que está dentro da raiz, isto é:

L 2 = lim x → 0 + ⁡ x   l n 2 x

Passando o x para baixo:

L 2 = l i m x → 0 + l n 2 x 1 x

Se fizermos x = 0 + :

L 2 = - ∞ ∞

Agora sim podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Vem comigo!

Passo 3

L 2 = lim x → 0 + ⁡ ln 2 ⁡ x 1 x

Aplicando a Regra de L’Hospital:

L 2 = lim x → 0 + ⁡ 2 ln ⁡ x × 1 x - 1 x 2

Assim,

L 2 = lim x → 0 + ⁡ - 2 x l n x

Como ainda estamos na indeterminação 0 × - ∞ , vamos arrumar nosso limite e usar a regra de L’Hospital novamente.

L 2 = lim x → 0 + ⁡ - 2 l n x 1 x

Aplicando L’Hospital:

L 2 = lim x → 0 + ⁡ - 2 ⋅ 1 x - 1 x 2  

Logo,

L 2 = lim x → 0 + ⁡ 2 x

Fazendo x → 0 + :

L 2 = 0

Do Passo 1:

L = L 2

Portanto,

L = 0

Resposta

L = 0

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