Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 29
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
Repare que não temos nenhuma restrição, pois o que está dentro da raiz já é positivo 😉. Assim, o domínio da nossa função será .
Passo 2
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.
Se :
Se
Passando para o outro lado e elevando ao quadrado:
Se :
ou
Se :
ou
Então, temos:
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Logo,
Com isso vemos que nossa função não é nem par pois nem impar pois .
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
Como a função cresce muito mais devagar que a função , podemos despreza-la. Assim,
Agora vamos analisar para
Fazendo a mesma simplificação:
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Se :
Repare que a função para é sempre positiva, pois . Logo, a curva será crescente para todos os valores de .
Se :
Para :
Resolvendo a inequação:
Logo, para
Para :
Resolvendo:
Assim, vemos que a curva será decrescente entre os pontos e .
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
Se :
Então,
Passando para o outro lado e elevando ao quadrado:
Opa, mas estamos com . Isso quer dizer que não há solução nesse caso.
Se :
Igualando a zero:
Logo,
Passo 7
Agora vamos analisar a concavidade no ponto . Para isso, vamos ver o sinal de nesse ponto. Como , temos:
Derivando,
concavidade para baixo
Para acharmos a resposta, basta esboçarmos o gráfico usando as informações acima.