Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = x + sqrt(|x|)

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = x + sqrt(|x|)

Repare que não temos nenhuma restrição, pois o que está dentro da raiz já é positivo 😉. Assim, o domínio da nossa função será x in R .

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

f ( x ) = x + sqrt(|x|)

Se x = 0 :

y = 0

Se f ( x ) = 0

x + sqrt(|x|) = 0

Passando para o outro lado e elevando ao quadrado:

|x| = x^2

Se x >= 0 :

x = x^2 -> x = 0 ou x = 1

Se x < 0 :

- x = x^2 -> x = 0 ou x = - 1

Então, temos:

f (- 1) = f (0) = f (1) = 0

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = x + sqrt(|x|)

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = (- x) + sqrt(|- x|)

Logo,

f (- x) = - x + sqrt(|x|)

Com isso vemos que nossa função não é nem par pois f ( x ) != f ( - x ) nem impar pois f (x) != - f ( - x ) .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:

L = underset(x -> oo)(lim) x + sqrt(|x|)

Como a função sqrt(|x|) cresce muito mais devagar que a função x^1 , podemos despreza-la. Assim,

L = underset(x -> oo)(lim) x -> L = oo

Agora vamos analisar para x -> - oo

L = underset(x -> - oo)(lim) x + sqrt(|x|)

Fazendo a mesma simplificação:

L = underset(x -> - oo)(lim) x -> L = - oo

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

Se x >= 0 :

f^' (x) = 1 + (1)/(2 sqrt(x))

Repare que a função f^' ( x ) para x >= 0 é sempre positiva, pois (1)/(2 sqrt(x)) > 0 . Logo, a curva será crescente para todos os valores de x >= 0 .

Se x < 0 :

f^' (x) = 1 - (1)/(2 sqrt(- x))

Para f^' (x) > 0 :

1 - (1)/(2 sqrt(- x)) > 0

Resolvendo a inequação:

2 > (1)/(sqrt(- x)) -> x < - (1)/(4)

Logo, para x < - (1)/(4)

Para f^' (x) < 0 :

1 - (1)/(2 sqrt(- x)) < 0 -> 2 < (1)/(sqrt(- x))

Resolvendo:

- x < (1)/(4) -> x > - (1)/(4)

Assim, vemos que a curva será decrescente entre os pontos - 1 e 1 .

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

Se x >= 0 :

f (x) = 1 + (1)/(2 sqrt(x))

Então,

1 + (1)/(2 sqrt(x)) = 0

Passando para o outro lado e elevando ao quadrado:

(1)/(4 x) = - 1 -> x = - (1)/(4)

Opa, mas estamos com x >= 0 . Isso quer dizer que não há solução nesse caso.

Se x < 0 :

f (x) = 1 - (1)/(2 sqrt(- x))

Igualando a zero:

1 - (1)/(2 sqrt(- x)) -> 1 = (1)/(2 sqrt(- x))

Logo,

x = - (1)/(4)

Passo 7

Agora vamos analisar a concavidade no ponto x = - (1)/(4) . Para isso, vamos ver o sinal de f ' ' nesse ponto. Como x < 0 , temos:

f^' (x) = 1 - (1)/(2 sqrt(- x))

Derivando,

f^(' ') (x) = - (1)/(4 (- x)^((3)/(2)))

f^(' ') (- (1)/(4)) < 0 -> concavidade para baixo

Para acharmos a resposta, basta esboçarmos o gráfico usando as informações acima.

Resposta

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