Enunciado

Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.

86-

y = x 2 - 49 x 2 + 5 x - 14

Passo 1

Note que poderemos escrever a equação da seguinte forma:

y = ( x + 7 ) ( x - 7 ) ( x - 2 ) ( x + 7 )

Basta encontrarmos as raízes do polinômio que está no numerador e do polinômio do denominador.

Onde conseguimos notar que temos prováveis assíntotas em x = 2 e x = - 7 porém em x = 7 é provável que temos uma indefinição pois conseguimos cortar em cima e embaixo.

Passo 2

Fazendo o limite tendendo a função a se aproximar desses pontos e a infinito nós encontramos:

Para x →   - ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 49 x 2 + 5 x - 14 = ∞ ∞

Fazendo L’Hopital

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 x + 5 = ∞ ∞

Fazendo L’Hopital de novo temos:

lim x → - ∞ ⁡ = 2 2 = 1

Como dependeu do sinal do infinito podemos dizer que temos assíntota horizontal   y = 2

Para os dois extremos:

Para x = - 7

lim x → - 7 ⁡ x 2 - 49 x 2 + 5 x - 14 = 0 0

O que já era esperado pois achamos as raízes previamente, fazendo L’Hopital:

lim x → - 7 ⁡ 2 x 2 x + 5 = - 14 - 9 = 14 9

Confirmamos que x = 7 é um ponto de indeterminação com y = 14 9 .

Agora para x = 2 .

Vindo a esquerda:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 49 x 2 + 5 x - 14 = - 44 0 - = + ∞

A direita:

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 49 x 2 + 5 x - 14 = - 44 0 + = - ∞

O que configura como uma assíntota vertical em x = 2

Passo 3

Fazendo agora a primeira derivada para verificarmos a existência de pontos críticos na função nós temos:

y ' = x 2 - 49 ' x 2 + 5 x - 14 - ( x 2 - 49 ) ( x 2 + 5 x - 14 ) ' x 2 + 5 x - 14 2

y ' = 2 x x 2 + 5 x - 14 - ( x 2 - 49 ) ( 2 x + 5 ) x 2 + 5 x - 14 2

y ' = 2 x 3 + 10 x 2 - 28 x - ( 2 x 3 + 5 x 2 - 98 x + 245 ) x 2 + 5 x - 14 2

y ' = 5 x 2 + 70 x - 245 x 2 + 5 x - 14 2 = 5 x 2 + 14 x + 49 x 2 + 5 x - 14 2

y ' = 5 x + 7 2 x - 2 2 x + 7 2

y ' = 5 x - 2 2

Conseguimos ver que não temos nenhum ponto crítico.

Para a segunda derivada temos:

y ' ' = - 10 ( x - 2 ) x - 2 3 = - 10 x - 2 3

Passo 4

Organizando nossos intervalos temos, para confirmarmos nossas respostas:

Pontos de teste: 0, 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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