Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 21
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
A única coisa que precisamos tomar cuidado é com relação ao que está dentro da raiz não pode ser negativo. Assim,
Mas isso é verdade para todo , pois qualquer número ao quadrado é sempre positivo. Logo, o domínio será:
Passo 2
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.
Se :
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Com isso vemos que nossa função não é nem par pois nem impar pois .
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
Quando podemos desprezar o em relação ao . Assim,
Como estamos com valores positivos de :
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Assim,
Isto é,
Agora vamos ver os pontos onde e os pontos onde :
Para os pontos :
Resolvendo a inequação:
Como chegamos num absurdo, vemos que não existe tal que
Para os pontos :
Logo,
Então, para todo no domínio da função. Portanto, nossa função será sempre decrescente.
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
Isto é,
Logo,
Como chegamos em um absurdo, isso significa que não teremos ponto de inflexão.
Passo 7
Pra finalizar, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, temos que achar .
Logo,
Simplificando:
Agora vamos analisar os pontos:
Logo, teremos concavidade para cima em