Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = sqrt(x^2 + 1) - x

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = sqrt(x^2 + 1) - x

A única coisa que precisamos tomar cuidado é com relação ao que está dentro da raiz não pode ser negativo. Assim,

x^2 + 1 >= 0

Mas isso é verdade para todo x , pois qualquer número ao quadrado é sempre positivo. Logo, o domínio será:

R

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

y = sqrt(x^2 + 1) - x

Se x = 0 :

y = 1

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = sqrt(x^2 + 1) - x

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = sqrt(x^2 + 1) + x

Com isso vemos que nossa função não é nem par pois f ( x ) != f ( - x ) nem impar pois f (x) != - f ( - x ) .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:

L = underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + 1) - x

Quando x -> oo podemos desprezar o 1 em relação ao x^2 . Assim,

L = underset(x -> oo)(lim) |x| - x

Como estamos com valores positivos de x :

L = underset(x -> oo)(lim) x - x = 0

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = sqrt(x^2 + 1) - x

Assim,

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(x^2 + 1)) * 2 x - 1

Isto é,

f^' (x) = (x - sqrt(x^2 + 1))/(sqrt(x^2 + 1))

Agora vamos ver os pontos onde f^' (x) > 0 e os pontos onde f^' (x) < 0 :

Para os pontos f^' (x) > 0 :

(x - sqrt(x^2 + 1))/(sqrt(x^2 + 1)) > 0 -> x - sqrt(x^2 + 1) > 0

Resolvendo a inequação:

x^2 > x^2 + 1 -> 0 > 1

Como chegamos num absurdo, vemos que não existe x tal que f^' (x) > 0

Para os pontos f^' (x) < 0 :

x - sqrt(x^2 + 1) < 0

Logo,

1 > 0

Então, f^' (x) < 0 para todo x no domínio da função. Portanto, nossa função será sempre decrescente.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

(x - sqrt(x^2 + 1))/(sqrt(x^2 + 1)) = 0

Isto é,

x - sqrt(x^2 + 1) = 0

Logo,

x^2 = x^2 + 1 -> 0 = 1

Como chegamos em um absurdo, isso significa que não teremos ponto de inflexão.

Passo 7

Pra finalizar, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, temos que achar f^(' ') ( x ) .

f^' (x) = (x)/(sqrt(x^2 + 1)) - 1

Logo,

f^(' ') (x) = (sqrt(x^2 + 1) - x * (1)/(2 sqrt(x^2 + 1)) * 2 x)/(x^2 + 1)

Simplificando:

f^(' ') (x) = - (1)/((x^2 + 1)^(3 // 2))

Agora vamos analisar os pontos:

f^(' ') (0) < 0

Logo, teremos concavidade para cima em x = 0

Resposta

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