Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 46
- Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores de máximo e mínimo locais
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use as informações das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de
Passo 1
(a) Pra começar ele nos pede para achar as assíntotas vertical e horizontal, mas antes de cair pra dentro vamos analisar o domínio da nossa função.
Repare que a única restrição que temos é que o denominador deve ser diferente de . Assim,
Resolvendo:
Então o domínio será . Agora vamos ver como ficam as assíntotas.
- Assíntota vertical:
- Assíntotas horizontal:
Para acharmos as assíntotas verticais, basta acharmos os pontos tais que:
Repare que na nossa função isso só ocorre quando o denominador fica igual a . Logo,
Isso quer dizer que é uma assíntota vertical.
Se nossa função possuir assíntotas horizontais, basta vermos qual valor do limite quando . olha só:
Como quando o termo fica bem maior que o podemos desprezar o .
Logo,
Logo, a reta será uma assíntota horizontal.
Passo 2
b) Para acharmos os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. Vamos analisar o sinal da primeira derivada.
Derivando,
Isto é,
Para :
Logo,
Resolvendo,
Então nossa função será crescente no intervalo
Para :
Assim,
Isto é,
ou
Então nossa função será decrescente no intervalo
Passo 3
Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos . Então vamos lá!
Como já achamos :
Então basta fazer o numerador igual a zero e tomar cuidado para que o denominador seja diferente de zero.
e
Logo,
Para sabermos se esse é um ponto de máximo ou mínimo, bastas analisarmos o que achamos no Passo 1. Como para nossa função decresce e para valores entre nossa função cresce, então em temos um ponto de mínimo.
Fazendo as contas:
Assim, o ponto será um ponto de mínimo.
Passo 4
Agora temos que achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos achar
Fatorando o numerador:
Opa, agora dá pra simplificar!
Para achar vamos derivar.
Assim,
Arrumando as coisas:
Para :
Como é sempre positivo:
Logo,
Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.
Para :
Fazendo a mesma simplificação anterior:
Isto é,
E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima. Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,
Assim,
Fazendo o numerador igual a zero:
Passo 5
Pra finalizar, vamos esboçar um gráfico. Olha só:
Resposta
a)
Assíntotas horizontais:
e
Assíntotas verticais:
b)
Decrescente:
Crescente:
c)
Ponto de mínimo:
d)
Côncava para cima:
Côncava para baixo:
Ponto de inflexão:
e) Gráfico de :