Enunciado

  1. Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
  2. Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
  3. Encontre os valores de máximo e mínimo locais
  4. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  5. Use as informações das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f

f x = x x - 2 2

Passo 1

(a) Pra começar ele nos pede para achar as assíntotas vertical e horizontal, mas antes de cair pra dentro vamos analisar o domínio da nossa função.

f x = x x - 2 2

Repare que a única restrição que temos é que o denominador deve ser diferente de 0 . Assim,

x - 2 2 ≠ 0

Resolvendo:

x ≠ 2

Então o domínio será R - { 2 } . Agora vamos ver como ficam as assíntotas.

  1. Assíntota vertical:
  2. Para acharmos as assíntotas verticais, basta acharmos os pontos x = c tais que:

    lim x → c ⁡ f x = ± ∞

    Repare que na nossa função isso só ocorre quando o denominador fica igual a 0 . Logo,

    x - 2 2 = 0 → x = 2

    Isso quer dizer que x = 2 é uma assíntota vertical.

  3. Assíntotas horizontal:

Se nossa função possuir assíntotas horizontais, basta vermos qual valor do limite quando x → ∞ . olha só:

L = lim x → ∞ ⁡ x x - 2 2

Como quando x → ∞ o termo x 2 fica bem maior que o - 1 podemos desprezar o - 1 .

L = lim x → ∞ ⁡ x x 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 x

Logo,

L = 0

Logo, a reta y = 0 será uma assíntota horizontal.

Passo 2

b) Para acharmos os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. Vamos analisar o sinal da primeira derivada.

f x = x x - 2 2

Derivando,

f ' x = x - 2 2 - 2 x x - 2 x - 2 4

Isto é,

f ' x = 4 - x 2 x - 2 4

Para f ' x > 0 :

4 - x 2 x - 2 4 > 0

Logo,

4 - x 2 > 0

Resolvendo,

- 2 < x < 2

Então nossa função será crescente no intervalo - 2 < x < 2

Para f ' x < 0 :

4 - x 2 x - 2 4 < 0

Assim,

4 - x 2 < 0

Isto é,

x < - 2   ou x > 2

Então nossa função será decrescente no intervalo - ∞ ,   - 2 ∪ 2 ,   ∞

Passo 3

Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos f ' x = 0 . Então vamos lá!

f ' x = 0

Como já achamos f ' ( x ) :

4 - x 2 x - 2 4 = 0

Então basta fazer o numerador igual a zero e tomar cuidado para que o denominador seja diferente de zero.

4 - x 2 = 0 e x ≠ 2

Logo,

x = - 2

Para sabermos se esse é um ponto de máximo ou mínimo, bastas analisarmos o que achamos no Passo 1. Como para x < - 2 nossa função decresce e para valores entre - 2,2 nossa função cresce, então em x = - 2 temos um ponto de mínimo.

f - 2 = - 2 - 4 2

Fazendo as contas:

f - 2 = - 1 8

Assim, o ponto - 2 ,   - 1 8 será um ponto de mínimo.

Passo 4

Agora temos que achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos achar f ' ' x

f ' x = 4 - x 2 x - 2 4

Fatorando o numerador:

f ' x = 2 - x 2 + x x - 2 4

Opa, agora dá pra simplificar!

f ' x = - 2 + x x - 2 3

Para achar f ' ' ( x ) vamos derivar.

f ' ' x = - x - 2 3 - 2 + x ⋅ [ 3 ⋅ x - 2 2 ] x - 2 6

Assim,

f ' ' x = - x - 2 - 3 2 + x x - 2 4

Arrumando as coisas:

f ' ' x = 2 x + 8 x - 2 4

Para f ' ' x > 0 :

2 x + 8 x - 2 4 > 0

Como x - 2 4 é sempre positivo:

2 x + 8 > 0

Logo,

x > - 4

Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.

Para f ' ' x < 0 :

2 x + 8 x - 2 4 < 0

Fazendo a mesma simplificação anterior:

2 x + 8 < 0

Isto é,

x < - 4

E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima. Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,

f ' ' x = 0

Assim,

2 x + 8 x - 2 4 = 0

Fazendo o numerador igual a zero:

2 x + 8 = 0 → x = - 4

Passo 5

Pra finalizar, vamos esboçar um gráfico. Olha só:

Resposta

a)

Assíntotas horizontais:

x = 1 e x = - 1

Assíntotas verticais:

y = 1

b)

Decrescente:

x > 0

Crescente:

x < 0

c)

Ponto de mínimo:

- 2 ,   - 1 8

d)

Côncava para cima:

x < - 4

Côncava para baixo:

x > - 4

Ponto de inflexão:

x = - 4

e) Gráfico de f :

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