Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = cos^2 (x) - 2 s e n ( x )

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = cos^2 (x) - 2 s e n ( x )

Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será x in R .

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

f ( x ) = cos^2 (x) - 2 s e n ( x )

Se x = 0 :

f ( 0 ) = 1

Se f ( x ) = 0

cos^2 (x) - 2 s e n ( x ) = 0

Como cos^2 (x) = 1 - s e n^2 ( x ) :

1 - s e n^2 (x) - 2 s e n (x) = 0

Logo,

s e n^2 (x) + 2 s e n (x) - 1 = 0

Resolvendo:

s e n (x) = (- 2 +- 2 sqrt(2))/(2) -> s e n (x) = 1 +- sqrt((2))

Como - 1 < s e n (x) < 1 :

s e n (x) = 1 - sqrt(2) -> x = a r c s e n (1 - sqrt(2))

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = cos^2 (x) - 2 s e n ( x )

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = cos^2 (- x) - 2 s e n (- x)

Logo,

f (- x) = cos^2 (x) + 2 s e n (x)

Com isso, vemos que nossa função não nem par nem ímpar.

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:

L = underset(x -> oo)(lim) cos^2 (x) - 2 s e n ( x )

Se fizermos o limite, vamos chegar no seguinte:

L = - 2 e L = 3

Portanto, o limite não existe. Logo, não teremos assíntotas horizontais.

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = cos^2 (x) - 2 s e n ( x )

Assim,

f^' (x) = - 2 cos (x) s e n (x) - 2 cos (x)

Isto é,

f^' (x) = - 2 cos (x) (s e n (x) + 1)

Para f^' (x) > 0 :

- 2 cos (x) (s e n (x) + 1) > 0

Resolvendo a inequação:

(pi)/(2) + 2 pi k < x < (3 pi)/(2) + 2 pi k , k in Z

Logo, nossa curva será crescente no intervalo acima.

Para f^' (x) < 0 :

- 2 cos (x) (s e n (x) + 1) < 0

Resolvendo:

- (pi)/(2) + 2 pi k < x < (pi)/(2) + 2 pi k , k in Z

Então nossa curva será decrescente no intervalo acima.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

f^' (x) = - 2 cos (x) (s e n (x) + 1)

Logo,

cos (x) (s e n (x) + 1) = 0

Então podemos ter cos (x) = 0 ou s e n (x) + 1 = 0 .

cos (x) = 0 -> x = (pi)/(2) + k pi , k in Z

Ou

s e n (x) + 1 = 0 -> s e n (x) = - 1

Isto é,

x = pi + 2 k pi , k in Z

Passo 7

Para acharmos a concavidade da curva vamos analisar seu crescimento e decrescimento. Vem comigo!

Como a curva cresce de (pi)/(2) até (3 pi)/(2) e decresce até o (5 pi)/(2) . Isso significa que em (3 pi)/(2) teremos um ponto de máximo, portanto, concavidade para baixo no intervalo ((pi)/(2) , (5 pi)/(2)) . O mesmo ocorre para todos os valores da forma (3 pi)/(2) + 2 k pi .

Outra coisa que sabemos é que a curva é decresce de - (pi)/(2) até (pi)/(2) e começa a crescer até (3 pi)/(2) . Isso quer dizer que teremos um ponto de mínimo, portanto, concavidade para baixo no intervalo (- (pi)/(2) , (3 pi)/(2)) . O mesmo irá ocorrer para valores da forma - (pi)/(2) + 2 k pi .

Passo 8

Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de f :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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