Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = cos^2(x) - 2sen(x)

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = cos 2 ⁡ x - 2 s e n ( x )

Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será x ∈ R .

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

f ( x ) = cos 2 ⁡ x - 2 s e n ( x )

Se x = 0 :

f ( 0 ) = 1

Se f ( x ) = 0

cos 2 ⁡ x - 2 s e n ( x ) = 0

Como cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 ( x ) :

1 - s e n 2 x - 2 s e n x = 0

Logo,

s e n 2 x + 2 s e n x - 1 = 0

Resolvendo:

s e n x = - 2 ± 2 2 2 → s e n x = 1 ± 2

Como - 1 < s e n x < 1 :

s e n x = 1 - 2 → x = a r c s e n 1 - 2

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f x = cos 2 ⁡ x - 2 s e n ( x )

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f - x = cos 2 ⁡ - x - 2 s e n - x

Logo,

f - x = cos 2 ⁡ x + 2 s e n x

Com isso, vemos que nossa função não nem par nem ímpar.

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:

L = lim x → ∞ ⁡ cos 2 ⁡ x - 2 s e n ( x )

Se fizermos o limite, vamos chegar no seguinte:

L = - 2 e L = 3

Portanto, o limite não existe. Logo, não teremos assíntotas horizontais.

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f x = cos 2 ⁡ x - 2 s e n ( x )

Assim,

f ' x = - 2 cos ⁡ x s e n x - 2 cos ⁡ x

Isto é,

f ' x = - 2 cos ⁡ x s e n x + 1

Para f ' x > 0 :

- 2 cos ⁡ x s e n x + 1 > 0

Resolvendo a inequação:

π 2 + 2 π k < x < 3 π 2 + 2 π k ,     k ∈ Z

Logo, nossa curva será crescente no intervalo acima.

Para f ' x < 0 :

- 2 cos ⁡ x s e n x + 1 < 0

Resolvendo:

- π 2 + 2 π k < x < π 2 + 2 π k ,     k ∈ Z

Então nossa curva será decrescente no intervalo acima.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f ' x = 0 :

f ' x = - 2 cos ⁡ x s e n x + 1

Logo,

cos ⁡ x s e n x + 1 = 0

Então podemos ter cos ⁡ x = 0 ou s e n x + 1 = 0 .

cos ⁡ x = 0 → x = π 2 + k π   ,   k ∈ Z

Ou

s e n x + 1 = 0 → s e n x = - 1

Isto é,

x = π + 2 k π ,   k ∈ Z

Passo 7

Para acharmos a concavidade da curva vamos analisar seu crescimento e decrescimento. Vem comigo!

Como a curva cresce de π 2 até 3 π 2 e decresce até o 5 π 2 . Isso significa que em 3 π 2 teremos um ponto de máximo, portanto, concavidade para baixo no intervalo π 2 , 5 π 2 . O mesmo ocorre para todos os valores da forma 3 π 2 + 2 k π .

Outra coisa que sabemos é que a curva é decresce de - π 2 até π 2 e começa a crescer até 3 π 2 . Isso quer dizer que teremos um ponto de mínimo, portanto, concavidade para baixo no intervalo - π 2 , 3 π 2 . O mesmo irá ocorrer para valores da forma - π 2 + 2 k π .

Passo 8

Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de f :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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