Enunciado

27. Prove a equação 5 usando (a) o método do Exemplo 3 e (b) o Exercicio 18 com x substituído por y.

Passo 1

A equação 5 é a seguinte:

tgh - 1 ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x

Usano o método usado no Exemplo 3:

Seja y = tg h - 1 ⁡ x . Então

x = tgh ⁡ y

x = senh ⁡ y cosh ⁡ y

E substituindo pela definição de seno e cosseno hiperbólico fica:

x = e y - e - y 2 e y + e - y 2

Simplificando a divisão por 2:

x = e y - e - y e y + e - y

Para simplificar essa expressão podemos multiplicar em cima e embaixo por e y :

x = e 2 y - 1 e 2 y + 1

Vamos isolar o e 2 y

x e 2 y + 1 = e 2 y - 1

x e 2 y + x = e 2 y - 1

e 2 y - x e 2 y = x + 1

Colocando o e 2 y e evidência:

e 2 y 1 - x = 1 + x

e 2 y = 1 + x 1 - x

Aplicando a definição de logaritimo:

2 y = ln ⁡ 1 + x 1 - x

y = 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x 1 - x

y = tgh - 1 ⁡ x = 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x 1 - x

Prontinho!

Passo 2

(b)

Do exercício 18 temos:

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x

Mas como x = tanh ⁡ y , vamos reescrever a expressão acima para:

1 + tgh ⁡ y 1 - tgh ⁡ y = e 2 y

então

1 + x 1 - x = e 2 y

Aplicando o logaritimo:

2 y = ln ⁡ 1 + x 1 - x

y = 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x 1 - x

y = tgh - 1 ⁡ x = 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x 1 - x

Provamos por esse caminho aqui também

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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