Enunciado

22-Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostra as assíntotas horizontais, verticais, oblíquas e curvilíneas e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

22- x - 1 x - 1 x 2

Passo 1

Galera, a nossa função pode ser escrita assim também:

f ( x ) = x - x - 1 - x - 2

Bora derivar essa função:

f ´ x = 1 + x - 2 + 2 x - 3

Agora, vamos derivar novamente:

f ´ ´ x = - 2 x - 3 - 6 x - 4

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

f ´ x = 0

1 + 1 x 2 + 2 x 3 = 0

x 3 + x + 2 = 0

De cara nós já vemos que x = - 1 é uma das raízes dessa equação, né ?

Agora, nós temos que usar Briott Ruffini para vermos se tem outra raiz:

x + 1 x 2 - x + 2 = 0

Como o nosso Briott Ruffini não deu em nada, concluímos que só temos uma raiz: - 1 .

Para x = - 1 :

f - 1 = - 1

( - 1 , - 1 ) é o nosso ponto estacionário.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x = - 1 :

f ´ ´ - 1 = - 4

Como f ´ ´ - 1 < 0 , para x = - 1 , temos um ponto de máximo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

p ´ ´ x = - 2 x 3 - 6 x 4

p ´ ´ x = 0

- 2 x 3 - 6 x 4 = 0

- 2 x - 6 = 0

x = - 3

Agora, temos que ver como essa função se comporta ao redor desses pontos e, a melhor forma de fazer isso é montando um quadro de sinais.

Galerissss, como a função varia o sinal, para x = - 3 ., temos um ponto de inflexão.

Para x = - 3 :

f - 3 = 11 9

- 3,11 9 é o nosso ponto de inflexão.

Passo 4

Por último, temos que ver as assíntotas.

- Assíntota horizontal:

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x - 1 x 2 = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 x - 1 x 2 = + ∞

Dessa forma, não temos assíntota horizontal.

-Assíntota vertical:

lim x → 0 ⁡ x - 1 x - 1 x 2 = - ∞

Dessa forma, para x = 0 temos uma assíntota vertical.

-Assíntota oblíqua e curvilínea:

Gente, nós temos a seguinte função:

f x = x 3 - x - 1 x 2

Podemos reescrever a nossa função assim:

f x = x - - x - 1 x 2

Como a segunda parcela tende a 0 quando x → ± ∞ , segue que

( f x - x ) → 0 quando x → ± ∞

Assim, temos que y = x é uma assíntota oblíqua, pois o grau do numerador é maior em um do que o grau do denominador.

Por fim, temos o seguinte gráfico:

Resposta

( - 1 , - 1 ) (máximo relativo) é o nosso ponto estacionário.

- 3 ,   11 9   é o nosso ponto de inflexão.

Para x = 0 temos uma assíntota vertical.

Para y = x temos uma assíntota oblíqua.

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