Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache uma equação para a assíntota oblíqua.

y = 1 + 5 x - 2 x 2 x - 2

Passo 1

Opa! Bora resolver essa questão?! O enunciado nos dá uma função:

y = 1 + 5 x - 2 x 2 x - 2

E pede pra a gente traçar essa curva, utilizando os guias desta secção do livro. Aqui não tem muito mistério, vamos seguir uma receitinha de bolo!

Além disso a questão também pede pra a gente achar a equação pra assíntota obliqua, mas isso a gente só vai fazer lá na frente!

Passo 2

O primeiro passo (A) é determinar o domínio da função, ou seja, os pontos onde não há problema:

y = 1 + 5 x - 2 x 2 x - 2

Nesse caso, como para x = 2 , teríamos uma divisão por zero, então a nossa função não está definida, temos:

D f = - ∞ ,   2   U   ( 2 ,   + ∞ )

Passo 3

Nesse passo (B), temos que encontrar as interseções com os eixos coordenados.

- Com o eixo x :

f x = 0 ↔ 1 + 5 x - 2 x 2 = 0

x = - 5 ± 33 - 4 → x 1 = - 5 + 33 - 4   e   x 2 = - 5 - 33 - 4

- Com o eixo y :

x = 0 → f 0 = - 1 2

Passo 4

O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar, pois para x = 1 , temos:

f 1 = - 4   e   f - 1 = - 2

Logo, nossa função é sem simetria.

Passo 5

No passo D, nós temos que encontrar as assíntotas.

Como x = 2   não pertence ao domínio da nossa função, fazemos

lim x → 2 + ⁡ f x = + ∞

lim x → 2 - ⁡ f x = - ∞

Sendo assim, x = 2 , é uma assíntota vertical.

Para vermos se tem alguma assíntota horizontal temos que fazer o limite da função quando x → ± ∞ :

lim x → ± ∞ ⁡ f x = ± ∞

Isso acontece, pois o grau do numerador é maior que o do denominador. Portanto, não temos uma assíntota horizontal.

Agora, precisamos achar a assíntota oblíqua. Como:

y = 1 + 5 x - 2 x 2 x - 2 = - 2 x + 1 + 3 x - 2

Daí:

lim x → ± ∞ ⁡ [ f x - ( - 2 x + 1 ) = l i m x → ± ∞ 3 x - 2 = 0

Então, a reta y = - 2 x + 1 é a nossa assíntota oblíqua.

Passo 6

Vamos para o passo E, ou seja, vamos achar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Para isso precisamos achar os pontos críticos, igualando a primeira derivada a zero. E depois, fazer um estudo de sinal da função.

f ´ ( x ) = 5 - 4 x x - 2 - ( 1 + 5 x - 2 x 2 ) x - 2 2 = 5 x - 10 - 4 x 2 + 8 x - 1 - 5 x + 2 x 2 x - 2 2

f ´ x = - 2 x 2 + 8 x - 11 x - 2 2

Igualando a nossa derivada a zero:

- 2 x 2 + 8 x - 11 = 0

Não existe nenhuma raiz rela, pois ∆ < 0 .

Também temos:

x - 2 = 0

x = 2

Este também é ponto crítico, pois a função não é derivável nesse ponto.

Agora, vamos fazer um quadro de sinais:

Como f ´ ( x ) é sempre menor que zero antes e depois do 2, ela é decrescente nesse intervalo:

- ∞ ,   2   U   ( 2 ,   + ∞ )

Passo 7

O próximo passo é o F. Aqui, nós temos que achar os máximos e os mínimos relativos, caso existam. Mas nós já temos essa resposta do passo anterior. Nós só achamos um ponto crítico que é em x = 2 , mas a nossa função f ´ ( x ) não muda de sinal em torno desse ponto. Isso quer dizer que ele não nem máximo nem mínimo relativo. Portanto, não temos nem máximo nem mínimos relativos.

Passo 8

Nesse passo (G), temos que analisar a concavidade da função. Pra isso, temos, primeiro, que achar a segunda derivada e igualá-la a zero, para termos os pontos de inflexão.

f ´ ´ x = - 4 x + 8 x - 2 2 - 2 - 2 x 2 + 8 x - 11 ( x - 2 ) x - 2 4

= - 4 x + 8 ( x - 2 ) - 2 - 2 x 2 + 8 x - 11 x - 2 3

= - 4 x 2 + 8 x + 8 x - 16 + 4 x 2 - 16 x + 22 x - 2 3

= 6 x - 2 3

Igualando a derivada a zero:

x - 2 = 0

x = 2

Este é o nosso possível ponto de inflexão, ele só será se o sinal da função for diferente antes e depois desse ponto. Vamos construir uma tabela e fazer uma estudo de sinal para f ´ ´ x .

Como f ´ ´ ( x ) muda de sinal em torno do ponto x = 2 , este é um ponto de inflexão. Como f ´ ´ x > 0 se x > 2 , então f ( x ) é côncava para cima em ( 2 ,   + ∞ ) . E, f ( x ) é côncava para baixo em ( - ∞ ,   2 ) , onde f ´ ´ x < 0 .

Passo 9

Juntando todas as informações que obtemos, temos o seguinte gr��fico de f x :

Resposta

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