Enunciado

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18. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

x + 1 = x 2 - x

Passo 1

Nossa equação é a seguinte:

x + 1 = x 2 - x

Antes de começar vamos esboçar um gráfico.

Considere a seguinte função:

f x = x + 1 - x 2 + x

Pois resolver x + 1 = x 2 - x é a mesma coisa que resolver   x + 1 - x 2 + x = 0 .

Passo 2

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Lembra da função que definimos?!

f x = x + 1 - x 2 + x

Derivando,

f ' x = 1 2 ⋅ 1 x + 1 - 2 x + 1

Portanto,

x n = x n - 1 - x n - 1 + 1 - x n - 1 2 + x n - 1 1 2 ⋅ 1 x n - 1 + 1 - 2 x n - 1 + 1

Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar os seguintes pontos:

x 1 = 0,5 e 1,9

Passo 3

Para a primeira raiz vamos usar x 1 = - 0,5 :

x 2 = x 1 - x 1 + 1 - x 1 2 + x 1 1 2 ⋅ 1 x 1 + 1 - 2 x 1 + 1

Fazendo as contas:

x 2 ≈ - 0 , 484155

Para achar x 3 o processo é análogo. Logo,

Para x 3 :

x 3 ≈ - - 0 , 484028

Para x 4 :

x 4 ≈ - 0 , 484028

Opa, como deu igual já podemos parar.

Para a segunda raiz vamos usar x 1 = 1,9 :

x 2 = x 1 - x 1 + 1 - x 1 2 + x 1 1 2 ⋅ 1 x 1 + 1 - 2 x 1 + 1

Fazendo as contas:

x 2 ≈ 1 , 897182

Para acharmos próximos o processo é o mesmo. Logo,

Para x 3 :

x 3 ≈ 1 , 897179

Para x 4 :

x 4 ≈ 1 , 897179

x 3 ≈ x 4 , então podemos parar.

Portanto, as raízes com aproximação de seis casas decimais são - 0 , 484028   e   1 , 897179

Resposta

As raízes com aproximação de seis casas decimais são - 0,484028   e   1,897179

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