Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 65
Use o roteiro para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache a equação para assíntota obliqua.
Passo 1
O primeiro passo (A )é determinar o domino da função. Ou seja, os pontos onde não há problema, nesse caso, como para a função não esta bem definida (estaríamos dividindo por zero ) , então
Passo 2
O segundo passo (B) é encontrar as interseções com os eixos coordenados.
No nosso caso,
Ou seja, o gráfico passa na origem.
Passo 3
O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar, pois para temos que e
Logo, nossa função é sem simetria
Passo 4
O quarto passo (D) é encontrar as assíntotas.
Como , façamos
E
Sendo assim, , é assintota vertical.
Agora, precisamos achar a assíntota obliqua. Como,
(você pode confirmar isso fazendo a divisão do polinômio do numerados pelo o do denominador e lembrando que , substituir a cancelar as contas )
Daí,
Então a reta é assíntota obliqua .
Passo 5
Vamos para o passo E. Ou seja, achar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente além de nossos candidatos a máximo e mínimo.
Para isso, façamos
Perceba que
(você pode testar isso, atribuindo valores para )
Então é crescente no intervalo e e é decrescente em e .
Passo 6
No passo F, devemos usar o teste da primeira derivada. Ou seja, achar os máximos e mínimos, se eles existirem.
Como sai de decrescente para crescente em o ponto de máximo local é
E, como sai de crescente em crescente em , o ponto de mínimo local é
Passo 7
Vamos ao penúltimo passo, o G. Aqui devemos analisar a concavidade da função, para isso façamos
Temos que
se , então é côncava para cima em . E, é côncava para baixo em .
(você pode testar isso atribuindo valores para )
Passo 8
Aqui vamos juntar todos os passos, ou seja, vamos desenhar o gráfico.