Enunciado

Esboce o gráfico da função racional:

y = (x^2 - x + 1)/(x - 1)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { 1 } (não pode zerar o denominador)

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função pela regra do quociente:

y^' = ((2 x - 1) (x - 1) - (x^2 - x + 1) (1))/((x - 1)^2) = (x^2 - 2 x)/((x - 1)^2)

y^(' ') = ( (2 x - 2 (x - 1)^2 - 2 (x - 1) (x^2 - 2 x))/((x - 1)^4) = ((x - 1) (2 (x - 1)^2 - 2 (x^2 - 2 x)))/((x - 1)^3) = (2 x^2 - 4 x + 2 - 2 x^2 - 4 x)/((x - 1)^3) = (2)/((x - 1)^3)

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

(x^2 - 2 x)/((x - 1)^2) = 0 -> x^2 - 2 x = 0 -> x (x - 2) = 0 -> x = 0 e x = 2

E pelo teste da derivada segunda, y^(' ') (0) = - 2 < 0 , e y^(' ') (2) = 2 > 0 .

Então, temos um ponto máximo em ( 0 , - 1 ) e ( 2 , 3 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y^' = (x^2 - 2 x)/((x - 1)^2)

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x = 2 e não está definida em x = 1 .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( - oo , 0 ) e ( 2 , oo ) e decrescente em ( 0,1 ) e ( 1,2 ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y^(' ') = (2)/((x - 1)^3) , então vamos analisar o denominador, já que o numerador é um número positivo:

Então, a concavidade é para baixo em (- oo , 1) e para cima em (1 , oo) .

A função muda a concavidade em x = 1 , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Podemos encontrar ainda os pontos onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

y (0) = - 1 -> ( 0 , - 1 )

A função não corta o eixo x, pois a função x^2 - x + 1 não possui raízes reais (discriminante Delta negativo)

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos loc
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