Esboce o gráfico da função racional:

y = (x^2 - x + 1) / (x - 1)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { 1 } (não pode zerar o denominador)

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função pela regra do quociente:

y ' = 2 x - 1 x - 1 - x 2 - x + 1 1 x - 1 2 = x 2 - 2 x x - 1 2

y ' ' = ( 2 x - 2   x - 1 2 - 2   x - 1 x 2 - 2 x x - 1 4 = x - 1 2 x - 1 2 - 2 x 2 - 2 x x - 1 3 = 2 x 2 - 4 x + 2 - 2 x 2 - 4 x x - 1 3 = 2 x - 1 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

x 2 - 2 x x - 1 2 = 0 → x 2 - 2 x = 0 → x x - 2 = 0 → x = 0   e   x = 2

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 0 = - 2 < 0 , e y ' ' 2 =   2 > 0   .

Então, temos um ponto máximo em ( 0 ,   - 1 ) e ( 2 ,   3 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   x 2 - 2 x x - 1 2

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 0 e x =   2 e não está definida em x = 1 .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( - ∞ ,   0 ) e ( 2 ,   ∞ ) e decrescente em ( 0,1 )   e ( 1,2 ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = 2 x - 1 3 , então vamos analisar o denominador, já que o numerador é um número positivo:

Então, a concavidade é para baixo em - ∞ ,   1 e para cima em 1 ,   ∞ .

A função muda a concavidade em x = 1 , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em x = 1 .

Passo 4

Podemos encontrar ainda os pontos onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

y 0 =   - 1 → ( 0 ,   - 1 )

A função não corta o eixo x, pois a função x 2 - x + 1 não possui raízes reais (discriminante Δ negativo)

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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