Enunciado

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Espeficique o raio de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = 1 - x 3 / 4

Podemos reescrever a função através da série binomial como:

1 + - x 3 / 4 = ∑ n = 0 ∞ 3 4 n - x n

= 1 - 3 4 x + 3 4 - 1 4 2 ! x 2 - 3 4 - 1 4 - 5 4 3 ! x 3 + …

= 1 - 3 4 x - 3 4 1 4 2 ! x 2 - 3 4 1 4 5 4 3 ! x 3 - …

Passo 2

Dessa forma, simplificando e escrevendo como série de potência, obtemos:

= 1 - 3 4 x - ∑ n = 2 ∞ 3 . 1.3 . 5 .   … . 4 n - 7 4 n . n ! x n

Passo 3

Pelo teste da razão é possível verificar que, para a convergência, devemos ter:

- x = x < 1

Sendo assim, o raio de convergência é:

R = 1

Resposta

R = 1

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