Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 19
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.
Passo 1
Para resolvermos esse exercício, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e após isso precisaremos encontrar a função potencial do campo para conseguirmos integrar usando o teorema da independência do caminho
Passo 2
Temos que , onde nosso e e que para o campo ser conservativo, precisamos que
Calculando as derivadas parciais, temos então que
Assim, temos que nosso campo é conservativo. Pelo teorema da independência do caminho para integral de linha, temos que quando o campo é conservativo sua derivada apenas depende dos pontos finais e iniciais, assim precisamos apenas da função potencial que, como o campo é conservativo, existe e tem derivadas de segunda ordem continuas.
Para encontrar a função potencial, vamos integrar em relação a e depois derivar em relação a . Assim, temos que
Temos então que nossa função potencial é . Calculando a integral usando o teorema da independência do caminho, temos então que