Enunciado

Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e após isso precisaremos encontrar a função potencial do campo para conseguirmos integrar usando o teorema da independência do caminho

Passo 2

Temos que d f = ∂ f ∂ x ⋅ d x + ∂ f ∂ y ⋅ d y , onde nosso ∂ f ∂ x = P = t g   y e ∂ f ∂ y = Q = x ⋅ sec 2 ⁡ y e que para o campo ser conservativo, precisamos que

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Calculando as derivadas parciais, temos então que

∂ ∂ y t g   y = sec 2 ⁡ y

∂ ∂ x x ⋅ sec 2 ⁡ y   = sec 2 ⁡ y

Assim, temos que nosso campo é conservativo. Pelo teorema da independência do caminho para integral de linha, temos que quando o campo é conservativo sua derivada apenas depende dos pontos finais e iniciais, assim precisamos apenas da função potencial que, como o campo é conservativo, existe e tem derivadas de segunda ordem continuas.

Para encontrar a função potencial, vamos integrar P em relação a x e depois derivar em relação a y . Assim, temos que

f = ∫ P ⋅ d x + g y = ∫ t g   y ⋅ d x + g y = x ⋅ t g   y + g y

∂ f ∂ y = Q → x ⋅ sec 2 ⁡ y + g ' y = x ⋅ sec 2 ⁡ y

g ' y = 0 → g y = 0

Temos então que nossa função potencial é f = x ⋅ t g   y . Calculando a integral usando o teorema da independência do caminho, temos então que

∫ C F → ⋅ d r → = f b - f a = f 2 , π 4 - f 1,0 =

= 2 ⋅ t g π 4 - 1 ⋅ t g 0 = 2 ⋅ 1 - 1 ⋅ 0 = 2

Resposta

∫ C t g   y ⋅ d x + x ⋅ sec 2 ⁡ y ⋅ d y = 2

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