Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f (através de qualquer método) e o seu raio de convergência. Faça o gráfico de f e os seus primeiros polinômios de Taylor no mesmo gráfico. O que você percebe sobre a relação entre esses polinômios e f ?

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = x e - x

Com o auxílio da Tabela 1, temos que:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 2

Sendo assim, temos que:

e - x = ∑ n = 0 ∞ - x n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x n n !

Dessa forma:

x e - x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x n + 1 n !

= x - x 2 + 1 2 x 3 - 1 6 x 4 + 1 24 x 5 - 1 120 x 6 + …

E, reescrevendo essa série:

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . x n n - 1 !

Passo 3

A série para e x converge para todo x. Dessa forma, o mesmo acontece para a série de f ( x ) , sendo assim, seu raio de convergência é:

R = ∞

O gráfico que compara f e os primeiros polinômios de Taylor é mostrado a seguir:

Através do gráfico é possível notar que T n ( x ) se aproxima de f ( x ) próximo de zero conforme n aumenta.

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 . x n n - 1 !

R = ∞

Através do gráfico é possível notar que T n ( x ) se aproxima de f ( x ) próximo de zero conforme n aumenta.

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