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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' ' - x y ' - y = 0 ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação à x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E a derivada segunda é:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

E vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

E já vamos colocar para dentro do somatório o x que está no segundo somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de x com potência n . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

Vamos substituir o índice original n - 2 por n ' . Assim vamos ter n - 2 → n ' , então o n original vai virar n → n ' + 2 :

∑ n ' + 2 = 2 ∞ ( n ' + 2 ) . ( n ' - 1 + 2 ) c n ' + 2 x n ' + 2 - 2

E arrumando os índices teremos:

∑ n ' = 0 ∞ ( n ' + 2 ) . ( n ' + 1 ) c n ' + 2 x n '

Beleza! Por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 x n

E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Dois deles começam em 0 , e um em 1 , então devemos colocar o primeiro termo dos que começam com n = 0 para fora e assim deixar todos somatórios começando em 1 (sempre deixar com o maior índice comum a todos):

2 c 2 - c 0 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - ∑ n = 1 ∞ c n x n = 0

E agora podemos unir todos esses somatórios em uma única soma:

2 c 2 - c 0 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 - n + 1 c n x n = 0

Para essa sentença ser verdadeira teremos:

2 c 2 - c 0 = 0

E assim podemos ter o valor de c 2 :

c 2 = 1 2 c 0

E também tudo que está dentro dos colchetes no somatório deve ser zero:

( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 - n + 1 c n = 0

Aqui temos a fórmula de recorrência:

c n + 2 = c n n + 2

Beleza! Agora calma! Até agora nos exercícios nós não tínhamos condições de contorno. Mas nesse sim! Então é aqui que testamos as condições iniciais. Lá do passo 1 temos:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 x 0 + c 1 x ¹ + c 2 x ² + …

A primeira condição inicial nos diz que para x = 0 ,   y = 1 , então substituindo na solução que supomos lá no começo temos:

y 0 = c 0 . 1 + c 1 . 0 + c 2 0 ² + … = 1

c 0 = 1

Ok! Agora a segunda condição de contorno diz respeito à derivada de y . Então, também do passo 1 :

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 = c 1 x 0 + c 2 x 1 + …

E a condição de contorno nos diz que y ' 0 = 0 então:

  y ' 0 = c 1 . 1 + c 2 . 0 + … = 0 Assim c 1 = 0 .

Passo 4

Pronto! Agora podemos voltar a nossa fórmula de recorrência!

c n + 2 = c n n + 2

Vamos variar o valor de n para ver qual fórmula fechada encontramos:

  • Para n = 0 :
  • c 2 = c 0 2 = 1 2

  • Para n = 1 :
  • c 3 = c 1 3 = 0

  • Para n = 2 :
  • c 4 = c 2 4 = 1 2 . 1 4

  • Para n = 3 :
  • c 5 = c 3 5 = 0

    Daqui podemos ver que c 2 n + 1 são todos nulos, pois c 1 = 0 . Agora vamos ver mais números pares para entendermos melhor qual é a recorrência:

  • Para n = 4 :
  • c 6 = c 4 6 = 1 2 . 1 4 . 1 6 = 1 2.3 . 2.2 . 2

  • Para n = 6 :

c 8 = c 6 8 = 1 2 . 1 4 . 1 6 . 1 8 = 1 2.3 . 4.2 . 2.2 . 2

Assim podemos ver que para c 2 n temos:

c 2 n = 1 n ! 2 n ,   n = 0,1 , 2 …

Passo 5

Beleza! Agora que encontramos o coeficiente c n podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Como c 2 n = 1 n ! 2 n , então a solução fica:

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! 2 n x 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( x 2 / 2 ) n n !

E saca só! Lembrando lá das séries de Maclaurin identificamos que essa é a série de potência da função e x 2 / 2 ! Então a solução final fica:

y x = e x 2 / 2

Certo! Vamos pra próxima?

Resposta

y x = e x 2 / 2

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