Enunciado

Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n

y ' - x 3 y = 0

Passo 1

E aííí parceiro

Bora lá, a gente tem essa equação diferencial

y ' - x 3 y = 0

Aí temos que resolver essa equação diferencial utilizando as técnicas que já aprendemos até o momento beleza? Vamos lá

Passo 2

Bom, temos

y ' - x 3 y = 0

Que é uma EDO separável:

d y y = x ³

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ x ³ d x

ln ⁡ y = x 4 4 + c

y = e - x 4 4 + c

y = c 1 e - x 4 4

E encontramos nossa solução usando os métodos anteriores :P Agora vamos lá encontrar a solução utilizando série de potências

Passo 3

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' - x 3 y = ∑ n = 1 ∞ n . c n . x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ c n . x n + 3

No primeiro somatório, vamos fazer k = n - 4 e no segundo vamos deixar k = n

y ' - x 3 y = ∑ k = - 3 ∞ k + 4 . c k + 4 . x k + 3 - ∑ k = 0 ∞ c k . x k + 3

Isso é:

y ' - x 3 y = c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x ² + ∑ k = 0 ∞ [ ( k + 4 ) . c k + 4 - c k ] . x k + 2 = 0

Então temos

c 1 = 0

2 c 2 = 0 → c 2 = 0

3 c 3 = 0 → c 3 = 0

( k + 4 ) . c k + 4 - c k = 0

E isolando c k + 4 , temos

c k + 4 = 1 k + 4 c k ,   k = 0,1 , 2,3 …

Dessa forma, temos

c 4 = - 1 4 c 0

c 5 = c 6 = c 7 = 0

c 8 = 1 2 1 4 2 c 0

Então, nossa solução é

y = c 0 - 1 4 c 0 x 4 + 1 2 1 4 2 c 0 x 8 + …

Que pode ser escrito assim:

y = c 0 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! - x 4 4 n

Opa, mas essa série a gente conhece, ela representa o e - x 4 4 , então:

y = c 0 . e - x 4 4

Exatamente o que encontramos no outro método :D

Resposta

y = c 1 e - x 4 4

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