Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' ' + x y ' + y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação à x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E a derivada segunda é:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

E vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 + x ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

E já vamos colocar para dentro do somatório o x que está no segundo somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n . c n x n + ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de x com potência n . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

Vamos substituir o índice original n - 2 por n ' . Assim vamos ter n - 2 → n ' , então o n original vai virar n → n ' + 2 :

∑ n ' + 2 = 2 ∞ ( n ' + 2 ) . ( n ' - 1 + 2 ) c n ' + 2 x n ' + 2 - 2

∑ n ' = 0 ∞ ( n ' + 2 ) . ( n ' + 1 ) c n ' + 2 x n '

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 x n

E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 x n + ∑ n = 1 ∞ n . c n x n + ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Dois deles começam em 0 , e um em 1 , então devemos colocar o primeiro termo dos que começam com n = 0 para fora e assim deixar todos somatórios começando em 1 :

2 c 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) . ( n + 1 ) c n + 2 x n + ∑ n = 1 ∞ n . c n x n + c 0 + ∑ n = 1 ∞ c n x n = 0

2 c 2 + c 0 + ∑ n = 1 ∞ n + 2 n + 1 c n + 2 + n c n + c n x n = 0

Assim temos que c 2 = - 1 2 c 0 .

E mais, como x n ≠ 0 , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:

n + 2 n + 1 c n + 2 + ( n + 1 ) c n = 0

c n + 2 = - c n n + 2

Lembrando que c 2 = - 1 2 c 0 , chegamos à fórmula de recorrência:

  • Para n = 0 :
  • c 2 = - c 0 2 =

  • Para n = 1 :
  • c 3 = - c 1 3 =

  • Para n = 2 :
  • c 4 = - c 2 4 = c 0 2.4

  • Para n = 3 :
  • c 5 = - c 3 5 = 1 3.5 c 1

  • Para n = 4 :
  • c 6 = - c 4 6 = - c 0 2.4 . 6 = - c 0 2.3 . 2.2 . 2

  • Para n = 5 :

c 7 = - c 5 7 = - c 1 3.5 . 7

Para n par já vimos à exemplo do exercício 2 dessa seção:

c 2 n = - 1 n c 0 2 n n !

Agora para os ímpares temos no denominador uma sequencia de multiplicações, isso indica o fatorial. Mas são apenas os números ímpares, até 2 n + 1 , então em cima temos que multiplicar por 2 n n ! e dividir por 2 n + 1 ! . (dá uma conferida um por um que você vai ver que está certo ;D). Então os termos ímpares são:

c 2 n + 1 = - 1 n 2 n n ! c 1 2 n + 1 !

Passo 4

Beleza! Agora que encontramos os coeficientes podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n c 0 2 n n ! x 2 n + - 1 n 2 n n ! c 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1

E é essa a solução!

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n c 0 2 n n ! x 2 n + - 1 n 2 n n ! c 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Use série de potência para resolver a equação diferencial. y ' ' + x 2
Em cada um dos problemas de 15 a 18:Encontre os cinco primeiros termos
Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de p
Em cada um dos problemas de 1 a 14:(a) Procure soluções em séries de p
Nos problemas 15-18, use o método de série de potências para resolver