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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' = x 2 y

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação a x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 - x 2 ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

E já vamos colocar para dentro do somatório o x 2 que está no segundo somatório do lado esquerdo:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do segundo somatório do lado esquerdo, com potência n + 2 . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

Vamos substituir o índice original n - 1 por n ' + 2 . Assim vamos ter n - 1 → n ' + 2 , então o n original vai virar n → n ' + 3 :

∑ n ' + 3 = 1 ∞ ( n ' + 3 ) . c n ' + 3 x n ' + 3 - 1

E agora vamos simplificar os índices:

∑ n ' = - 2 ∞ ( n ' + 3 ) . c n ' + 3 x n ' + 2

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = - 2 ∞ ( n + 3 ) . c n + 3 x n + 2

E podemos agora podemos substituir novamente na equação:

∑ n = - 2 ∞ ( n + 3 ) . c n + 3 x n + 2 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Um deles começa em - 2 , então devemos colocar o primeiro e o segundo termo para fora e assim deixar o somatório começando em 0 .

- 2 + 3 c 1 x 0 + - 1 + 3 c 2 x 1 + ∑ n = 0 ∞ ( n + 3 ) . c n + 3 x n + 2 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

c 1 + 2 c 2 x + ∑ n = 0 ∞ ( n + 3 ) . c n + 3 x n + 2 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Assim podemos unir os dois termos em uma única soma:

c 1 + 2 c 2 x + ∑ n = 0 ∞ n + 3 c n + 3 - c n x n + 2 = 0

Assim temos que c 1 + 2 c 2 x = 0 .

E mais, como x n + 2 ≠ 0 , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:

n + 3 c n + 3 - c n = 0

c n + 3 = c n n + 3

Lembrando que c 1 = c 2 = 0 , chegamos à fórmula de recorrência:

  • Para n = 0 :
  • c 3 = c 0 3

  • Para n = 1 :
  • c 4 = c 1 4 = 0

  • Para n = 2 :
  • c 5 = c 2 5 = 0

  • Para n = 3 :
  • c 6 = c 3 6 = c 0 3 . 1 6 = c 0 2.3 . 3

    Daqui podemos ver que c 1 , c 4 ,   c 7 ,   c 10 são todos nulos, pois c 1 = 0 . Também vemos que c 2 , c 5 ,   c 8 ,   c 11 são nulos, pois c 2 = 0 . Então c 3 n + 1 = c 3 n + 2 = 0 . Agora vamos ver mais números múltiplos de 3 para entendermos melhor qual é a recorrência:

  • Para n = 6 :
  • c 9 = c 6 9 = c 0 2 . 3.3 . 1 9 = c 0 2.3 . 3 . 3.3

  • Para n = 9 :

c 12 = c 9 12 = c 0 2.3 . 3.3 . 3 . 1 12 = c 0 2.3 . 4.3 . 3.3 . 3

Assim podemos ver que para c 2 n temos:

c 3 n = c 0 n ! 3 n ,       n = 0,1 , 2 …

Aqui não tem muito mistério para enxergar a recorrência, é a prática que vai deixar cada vez mais fácil de você identificar o coeficiente certo =)

Passo 4

Beleza! Agora que encontramos o coeficiente c n podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Como c 3 n = c 0 n ! 3 n , então a solução fica:

y x = ∑ n = 0 ∞ c 0 n ! 3 n x 3 n = c 0 ∑ n = 0 ∞ ( x 3 / 3 ) n n !

E saca só! Lembrando lá das séries de Maclaurin identificamos que essa é a série de potência da função e x 3 / 3 ! Então a solução final fica:

y x = c 0 e x 3 / 3

Certo! Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 0 e x 3 / 3

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