Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = 1 + x 1 - x 2

Podemos reescrever a função como:

f x = 1 1 - x 2 + x 1 - x 2

Passo 2

E, reescrevendo como uma soma de série de potência, temos:

∑ n = 0 ∞ n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ n + 1 x n + 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 x n + ∑ n = 1 ∞ n x n

= 1 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 + n x n = 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 x n = ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 x n

Passo 3

Sendo assim, o raio de convergência da série de potências é dado por:

R = 1

Resposta

∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 x n

R = 1

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