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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' = x y

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação a x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 - x ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

E já vamos colocar para dentro do somatório o x 2 que está no segundo somatório do lado esquerdo:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do segundo somatório do lado esquerdo, com potência n + 1 . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

Vamos substituir o índice original n - 1 por n ' + 1 . Assim vamos ter n - 1 → n ' + 1 , então o n original vai virar n → n ' + 2 :

∑ n ' + 2 = 1 ∞ ( n ' + 2 ) . c n ' + 1 x n ' + 2 - 1

E agora vamos simplificar os índices:

∑ n ' = - 1 ∞ ( n ' + 2 ) . c n ' + 1 x n ' + 1

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = - 1 ∞ ( n + 2 ) . c n + 1 x n + 1

E podemos agora podemos substituir novamente na equação:

∑ n = - 1 ∞ ( n + 2 ) . c n + 1 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Um deles começa em - 1 , então devemos colocar o primeiro termo para fora e assim deixar o somatório começando em 0 .

- 1 + 2 c 1 x 0 + ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) . c n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

c 1 + ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) . c n + 2 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Assim podemos unir os dois termos em uma única soma:

c 1 + ∑ n = 0 ∞ n + 2 c n + 2 - c n x n + 1 = 0

Assim temos que c 1 = 0 .

E mais, como x n + 1 ≠ 0 , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:

n + 2 c n + 2 - c n = 0

c n + 2 = c n n + 2

Chegamos à fórmula de recorrência:

  • Para n = 0 :
  • c 2 = c 0 2

  • Para n = 1 :
  • c 3 = c 1 3 = 0

  • Para n = 2 :
  • c 4 = c 2 4 = c 0 2 . 1 4

  • Para n = 3 :
  • c 5 = c 3 5 = 0

    Daqui podemos ver que c 2 n + 1 são todos nulos, pois c 1 = 0 . Agora vamos ver mais números pares para entendermos melhor qual é a recorrência:

  • Para n = 4 :
  • c 6 = c 4 6 = c 0 2 . 1 4 . 1 6 = c 0 2.3 . 2.2 . 2

  • Para n = 6 :

c 8 = c 6 8 = c 0 2 . 1 4 . 1 6 . 1 8 = c 0 2.3 . 4.2 . 2.2 . 2

Assim podemos ver que para c 2 n temos:

c 2 n = c 0 n ! 2 n ,   n = 0,1 , 2 …

Aqui não tem muito mistério para enxergar a recorrência, é a prática que vai deixar cada vez mais fácil de você identificar o coeficiente certo =)

Passo 4

Beleza! Agora que encontramos o coeficiente c n podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Como c 2 n = c 0 n ! 2 n , então a solução fica:

y x = ∑ n = 0 ∞ c 0 n ! 2 n x 2 n = c 0 ∑ n = 0 ∞ ( x 2 / 2 ) n n !

E saca só! Lembrando lá das séries de Maclaurin identificamos que essa é a série de potência da função e x 2 / 2 ! Então a solução final fica:

y x = c 0 e x 2 / 2

Certo! Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 0 e x 2 / 2

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