Enunciado

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada:

∫ 0 1 s e n x 4   d x   ( q u a t r o   c a s a s   d e c i m a i s )  

Passo 1

A série correspondente à s e n   x é:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Então a de s e n   ( x 4 ) é:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 8 n + 4 2 n + 1 !

Integrando então, temos:

∫   s e n ( x 4 ) d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 8 n + 5 2 n + 1 ! ( 8 n + 5 )

Vamos jogar os limites de integração agora...

Passo 2

Substituindo os limites de integração, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 1 ) 8 n + 5 2 n + 1 ! 8 n + 5

E então, desenvolvendo a série...

1 1 ! ∙ 5 - 1 3 ! ∙ 13 + 1 5 ! ∙ 21 - 1 7 ! ∙ 29 + …

Vamos ver onde a gente pode parar para ter uma precisão de 4 casas decimais...

Passo 3

Bom, se a gente fizer:

  1 7 ! ∙ 29 ≅ 6,84 × 10 - 6

Esse valor não altera mais a quarta casa decimal, então vamos fazer só até o terceiro termo:

1 1 ! ∙ 5 - 1 3 ! ∙ 13 + 1 5 ! ∙ 21 ≅ 0,1876

É a aproximação da soma com 4 casas decimais.

Resposta

0,1876

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Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.14. 1 1 + x , x 0 = 0
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.9. e x , x 0 = 0
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.15. 1 1 - x , x 0 = 0
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.12. x 2 , x 0 = - 1