Enunciado

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimas, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.

A parte da superfície z = e - x 2 - y 2 que está acima do círculo x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

∂ z ∂ x = - 2 x e - x 2 - y 2

∂ z ∂ y = - 2 y e - x 2 - y 2

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + - 2 x e - x 2 - y 2 2 + - 2 y e - x 2 - y 2 2 d A

A S = ∬ D 1 + 4 x 2 + 4 y 2 e - x 2 - y 2 2 d A

Passo 3

Como estamos trabalhando em uma região circular de centro na origem e raio 2, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Portanto, temos os seguintes limites:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2

Agora, basta resolvermos a seguinte integral:

A S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r 1 + 4 r 2 e - 2 r 2 d θ d r

A S = ∫ 0 2 2 π r 1 + 4 r 2 e - r 4 d r

Utilizando uma calculadora para obter esta integral, temos:

A S ≈ 13,9783

Resposta

A S ≈ 13,9783

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