Enunciado

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada:

∫ 0 1 / 2 x 3 a r c t g   x   d x   ( q u a t r o   c a s a s   d e c i m a i s )  

Passo 1

A série correspondente à a r c t g   x , para x < 1 é:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Então a de x 3 a c r t g   x é:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 4 2 n + 1

Integrando então, temos:

∫   x 3 a r c t g   x d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 5 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 5 )

Vamos jogar os limites de integração agora...

Passo 2

Substituindo os limites de integração, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 2 n + 5 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 5 )

E então, desenvolvendo a série...

1 2 5 1 ∙ 5 - 1 2 7 3 ∙ 7 + 1 2 9 5 ∙ 9 -   1 2 11 7 ∙ 11 + …

Vamos ver onde a gente pode parar para ter uma precisão de 4 casas decimais...

Passo 3

Bom, se a gente fizer:

  1 2 11 7 ∙ 11 ≅ 6,3 × 10 - 6

Esse valor não altera mais a quarta casa decimal, então vamos fazer só até o terceiro termo:

1 2 5 1 ∙ 5 - 1 2 7 3 ∙ 7 + 1 2 9 5 ∙ 9 ≅ 0,0059

É a aproximação da soma com 4 casas decimais.

Resposta

0,0059

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