Enunciado

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.

∫ 0 0 , 4 ln ⁡ ( 1 + x 4 ) d x

Passo 1

Galera, primeiro vamos nos preocupar em escrever a integral como série de potências. Vamos usar o seguinte:

ln ⁡ 1 + x = ∫ 1 1 + x   d x = ∫ 1 1 - - x d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1   = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

Se trocarmos x por x 4 , saberemos que:

ln ⁡ ( 1 + x 4 ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ( x 4 ) n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x 4 n

Passo 2

Show! Agora vamos integrar!

∫ ln ⁡ ( 1 + x 4 ) d x = ∫ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x 4 n d x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n   x 4 n + 1 4 n + 1 = x 5 1   .   5 - x 9 2   .   9 + x 13 3   .   13 - …

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 0,4 ln ⁡ ( 1 + x 4 ) d x = ( 0,4 ) 5 1   .   5 - ( 0,4 ) 9 2   .   9 + ( 0,4 ) 13 3   .   13 - … - 0 5 1   .   5 - 0 9 2   .   9 + 0 13 3   .   13 - … = ( 0,4 ) 5 1   .   5 - ( 0,4 ) 9 2   .   9 + ( 0,4 ) 13 3   .   13 - …

Passo 3

Como a série é alternada, se aproximarmos a soma da série pela soma parcial dos dois primeiros termos, o erro é no máximo o terceiro termo:

R ≤ a 3 = 0,4 13 3   .   13 ≈ 1,7   .   10 - 7

Então, pra obter a precisão de seis casas decimais, podemos mesmo aproximar assim:

∫ 0 0,4 ln ⁡ ( 1 + x 4 ) d x ≈ s 2 = ( 0,4 ) 5 1   .   5 - ( 0,4 ) 9 2   .   9 ≈ 0 , 002033

Resposta

∫ 0 0,4 ln ⁡ ( 1 + x 4 ) d x ≈ 0,002033

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Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais. ∫ 0 0,1 xa r c t g 3 x d x