Enunciado

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Use séries para calcular o limite.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x

Passo 1

Para calcular o limite vamos substituir cos ⁡ x e e x por suas respectivas séries.

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! = 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + …

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + …

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x = lim x → 0 ⁡ 1 - 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + … 1 + x - 1 + x + x 2 2 + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + …

Passo 2

Temos que

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x = lim x → 0 ⁡ 1 - 1 + x 2 2 - x 4 4 ! + x 6 6 ! - … 1 + x - 1 - x - x 2 2 - x 3 3 ! - x 4 4 ! - x 5 5 ! - …

= lim x → 0 ⁡ x 2 2 - x 4 4 ! + x 6 6 ! - … - x 2 2 - x 3 3 ! - x 4 4 ! - x 5 5 ! - …

Colocando x 2 em evidencia no numerador e denominador

= lim x → 0 ⁡ x 2 1 2 - x 2 4 ! + x 4 6 ! - … x 2 - 1 2 - x 3 ! - x 2 4 ! - x 3 5 ! - … = lim x → 0 ⁡ 1 2 - x 2 4 ! + x 4 6 ! - … - 1 2 - x 3 ! - x 2 4 ! - x 3 5 ! - …

= 1 / 2 - 1 / 2 = - 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x = - 1

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