Enunciado

Calcule a integral indefinida como uma série infinita.

∫ arctg ⁡ ( x 2 ) d x  

Passo 1

Para calcular a integral como uma série, vamos substituir arctg ⁡ ( x 2 ) por sua série, que para acharmos, vamos derivar a função

arctg ⁡ x 2 ' = 2 x 1 + x 4

O termo da direita tem uma cara muito parecida com a soma de uma série geométrica, vamos manipular um pouco

2 x 1 + x 4 = 2 x 1 - ( - x 4 )

Desta forma, podemos igualar esse termo a uma série geométrica com a = 2 x e r = - x 4

2 x 1 - ( - x 4 ) = ∑ n = 0 ∞ 2 x - x 4 n = 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 n x 4 n

= 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 1

Então temos que

arctg ⁡ x 2 ' = 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 1

Passo 2

Para achar a série de arctg ⁡ ( x 2 ) , vamos integrar dos dois lados

∫ arctg ⁡ x 2 ' d x = 2 ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 1 d x

Podemos colocar a integral dentro do somatório, deixando somente o que tem x dentro da integral.

arctg ⁡ x 2 = 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n ∫ x 4 n + 1 d x

arctg ⁡ x 2 = C + 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 4 n + 2  

Para achar a constante, podemos substituir x = 0

arctg ⁡ 0 = C + 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 0 4 n + 2 4 n + 2  

0 = C + 0

C = 0

Então temos a série da arctg ⁡ x 2

arctg ⁡ x 2 = 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 4 n + 2  

Passo 3

Agora para integrar novamente

∫ arctg ⁡ x 2 d x = 2 ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 4 n + 2   d x  

Podemos colocar a integral dentro do somatório, deixando somente o que tem x dentro da integral.

= 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 2 ∫ x 4 n + 2 d x

Agora é só integrar sem esquecer da constante de integração

= K + 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 2 ⋅ x 4 n + 3 4 n + 3  

= K + 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 3 4 n + 2 4 n + 3

Resposta

= K + 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 3 4 n + 2 4 n + 3

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