Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 86
No Exercício 53, na Seção 10.2, foi mostrado que o comprimento da elipse , , onde , é
Onde é a excentricidade da elipse. Expanda o integrando como uma série binomial e use o resultado do Exercício 46, na Seção 7.1, no Volume I, para expressar como uma série de potências da excentricidade até termos em .
Passo 1
Temos o integrando e vamos abrir em uma série binomial, que é da forma
No caso do integrando, podemos reescrevê-lo
Desta forma
Passo 2
Agora, para calcular a integral
Temos que é constante em relação a variável , então
Agora usando o resultado do exercício Exercício 46 da Seção 7.1 que concluiu que
Temos que
Passo 3
Retornando ao comprimento chegamos em
Como o enunciado pede para expressarmos os termos até , precisaremos de 4 termos da série até
Resposta
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