Enunciado

  1. Se
  2. g x = x 6 + x 4 ,     x ≥ 0

    Use um sistema de computação algébrica para encontrar uma expressão para g - 1 ( x ) .

  3. Use a expressão da parte (a) para fazer na mesma tela um gráfico de y = g ( x ) , y = x e y = g - 1 ( x ) .

Passo 1

Falaa... tudo bem??

Nessa questão foi dada a função:

g x = x 6 + x 4 ,   x ≥ 0

E vamos usar algum programa pra encontrar a expressão para a inversa g - 1 x .

É só jogar no programa e pedir pela inversa mesmo.

Depois vamos plotar numa mesma tela os gráficos de y = g x , y = x e y = g - 1 x .

Passo 2

  1. Utilizando o Derive, podemos encontrar g - 1 ( x )

    g - 1 x = 3 3 B - 1

    Onde

    B = 2 sin ⁡ A 3 + π 3

    E

    A = sin - 1 ⁡ 27 x - 2 2

    Porém, como

    D o m A = 0   , 4 27  

    Então esta expressão da função inversa só está definida no intervalo

    0 ≤ x ≤ 4 / 27

    O software Mapple nos dá o restante da solução

    g - 1 x = 6 6 C 1 3 C 2 3 - 2 C 1 3 + 4 C 1 3

    Onde

    C = 108 x + 12 3 x 27 x - 4

    E está definida no intervalo

    4 27 ≤ x < ∞

    Passo 2

  2. Esboçando em um software, ficamos com

Repara que ele não pediu o esboço dessas curvas a toa.

Podemos notar que o gráfico da fun��ão inversa é o gráfico da função, espelhado em relação à reta y = x .

Resposta

g - 1 x = 3 3 B - 1 ,                                                                   0 ≤ x ≤ 4 27 6 6 C 1 3 C 2 3 - 2 C 1 3 + 4 C 1 3 ,   4 27 ≤ x ≤ ∞

Onde

B = 2 sin ⁡ A 3 + π 3 ,   A = sin - 1 ⁡ 27 x - 2 2   e   C = 108 x + 12 3 x 27 x - 4

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