Enunciado

(a) Como está definida a função logarítmica y = log a ⁡ x ?

(b) Qual o domínio dessa função?

(c) Qual é a imagem dessa função?

(d) Esboce a forma geral do gráfico da função y = log a ⁡ x se a > 1 .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente explicar a definição da função logarítmica y = log a ⁡ x , determinar o domínio e a imagem dessa função e esboçar seu gráfico, sabendo que a > 1 .

Então, vamos dar uma olhadinha na definição de função logarítmica e determinar seu domínio com base nos valores que x pode assumir. Dessa forma, sua imagem serão os valores y = f ( x ) correspondentes. E depois vamos plotar isso no plano cartesiano.

Vamos lá!

Passo 2

Bom, vamos para a explicação do que é uma função logarítmica. A função logarítmica é também a função inversa da função exponencial de base a . Então, temos a relação de equivalência:

y = log a ⁡ x   ⇔     x = a y

Analisando os valores de x que a função pode assumir, percebemos que x não pode ser negativo quando o valor de y for par. Como temos essa condição, excluímos os valores negativos de x do nosso domínio.

Além disso, nenhum número elevado a alguma potência é zero, então x também não pode ser zero. Dessa forma, nosso domínio será o intervalo aberto:

D f = ( 0 , ∞ )

Mas para todos os valores de x nesse domínio, nossa função tem um valor correspondente em y , que pode ser qualquer número real. Sendo assim, sua imagem pertence ao conjunto R , porque todo valor real pode ser escrito como um logaritmo.

Passo 3

Agora, vamos desenhar o gráfico da função. Como a   pode ser qualquer número maior do que 1 , podemos ter várias curvas. Olha só:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. y = log a x x = a y
  2. Domínio: ( 0 , ∞ )
  3. Imagem: R
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