Enunciado

Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 4

Passo 1

Se tivéssemos usado o Teste de Comparação para mostrar que uma ´serie ∑ a n converge pela comparação com uma série ∑ b n , poderíamos ser capazes de estimar a soma ∑ a n pela comparação dos restos. O resto pode ser considerado como:

R n = s - s n = a n + 1 + a n + 2 + …

Para a série de comparação ∑ b n consideramos o resto correspondente

T n = t - t n = b n + 1 + b n + 2 + …

Como a n ≤ b n para todo n , temos R n ≤ T n . Se ∑ b n é uma série p , podemos estimar seu restante T n . Se ∑ b n for uma série geométrica, então T n é a soma de uma série geométrica e podemos somá-la exatamente. Em qualquer um dos dois casos, R n < T n .

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa série.

∑ n = 1 10 e 1 / n n 4 = e 1 / 1 1 4 + e 1 / 2 2 4 + e 1 / 3 3 4 + … + e 1 10 10 4 ≈ 2,8474

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

a n = ∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 4

Queremos estimar o erro dessa aproximação. Podemos escrever a seguinte relação aqui:

R 10 ≤ T 10 ≤ ∫ n ∞ e 1 x x 4 d x

Temos uma integral imprópria para ser resolvida. Pra isso, nós precisaremos usar uma propriedade que envolve limites:

∫ a ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f x d x

Desse modo, temos:

R 10 ≤ T 10 ≤ ∫ 10 ∞ e 1 x x 4 d x

Passo 3

Nosso objetivo é integrar ∫ e 1 x x 4 d x . Vamos chamar 1 x = t e - d x x 2 = d t . Substituindo na integral, temos:

∫ e 1 x x 4 d x = ∫ - t 2 e t d t

Vamos integrar, agora, por partes! Seja u = - t 2   → d u = - 2 t d t e d v = e t d t → v = e t . Assim,

∫ - t 2 e t d t = - t 2 e t - ∫ - 2 t e t d t

∫ - t 2 e t d t = - t 2 e t + 2 ∫ t e t d t

Opa, apareceu mais uma integral que não temos solução imediata! Vamos também integrar por partes a integral ∫ t e t d t ! Seja u = t → d u = d t e d v = e t d t → v = e t . Assim,

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t d t = t e t - e t = e t t - 1

Voltando com esse resultado na integral anterior, temos:

∫ - t 2 e t d t = - t 2 e t + 2 e t t - 1 = e t ( - t 2 + 2 t - 2 )

Voltando para a variável original, temos:

∫ 10 ∞ e 1 x x 4 d x = e 1 x - 1 x 2 + 2 x - 2 10 ∞

∫ 10 ∞ e 1 x x 4 d x = 2 - e 1 10 - 1 10 2 + 2 10 - 2 ≈ 4,000359  

Resposta

O valor da soma dos dez primeiros termos da série é:

s 10 = 2,8474

O erro estimado é:

R 10 < 4,000359  

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