Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 34
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
Passo 1
Se tivéssemos usado o Teste de Comparação para mostrar que uma ´serie converge pela comparação com uma série , poderíamos ser capazes de estimar a soma pela comparação dos restos. O resto pode ser considerado como:
Para a série de comparação consideramos o resto correspondente
Como para todo , temos . Se é uma série , podemos estimar seu restante . Se for uma série geométrica, então é a soma de uma série geométrica e podemos somá-la exatamente. Em qualquer um dos dois casos, .
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa série.
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Queremos estimar o erro dessa aproximação. Podemos escrever a seguinte relação aqui:
Temos uma integral imprópria para ser resolvida. Pra isso, nós precisaremos usar uma propriedade que envolve limites:
Desse modo, temos:
Passo 3
Nosso objetivo é integrar . Vamos chamar e . Substituindo na integral, temos:
Vamos integrar, agora, por partes! Seja e . Assim,
Opa, apareceu mais uma integral que não temos solução imediata! Vamos também integrar por partes a integral ! Seja e . Assim,
Voltando com esse resultado na integral anterior, temos:
Voltando para a variável original, temos:
Resposta
O valor da soma dos dez primeiros termos da série é:
O erro estimado é:
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