Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.4 - Ex. 33

Ver Outros Exercícios
desse livro

Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

∑ n = 1 ∞ 1 5 + n 5

Passo 1

Se tivéssemos usado o Teste de Comparação para mostrar que uma ´serie ∑ a n converge pela comparação com uma série ∑ b n , poderíamos ser capazes de estimar a soma ∑ a n pela comparação dos restos. O resto pode ser considerado como:

R n = s - s n = a n + 1 + a n + 2 + …

Para a série de comparação ∑ b n consideramos o resto correspondente

T n = t - t n = b n + 1 + b n + 2 + …

Como a n ≤ b n para todo n , temos R n ≤ T n . Se ∑ b n é uma série p , podemos estimar seu restante T n . Se ∑ b n for uma série geométrica, então T n é a soma de uma série geométrica e podemos somá-la exatamente. Em qualquer um dos dois casos, R n < T n .

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa série.

∑ n = 1 10 1 5 + n 5 = 1 5 + 1 5 + 1 5 + 2 5 + 1 5 + 3 5 + … + 1 5 + 10 5 ≈ 0,19926

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

a n = ∑ n = 1 ∞ 1 5 + n 5

Essa série pode ser aproximada por uma série igual a

b n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 5

Na comparação das duas, temos:

∑ n = 1 ∞ 1 5 + n 5 < ∑ n = 1 ∞ 1 n 5

Queremos estimar o erro dessa aproximação. Podemos escrever a seguinte relação aqui:

R 10 ≤ T 10 ≤ ∫ n ∞ 1 x 5 d x

Temos uma integral imprópria para ser resolvida. Pra isso, nós precisaremos usar uma propriedade que envolve limites:

∫ a ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f x d x

Desse modo, temos:

R 10 ≤ T 10 ≤ ∫ n ∞ 1 x 5 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ n t 1 x 5 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 4 x 4 n t = lim t → ∞ ⁡ - 1 4 t 4 + 1 4 n 4

Para n = 10 , temos:

R 10 ≤ T 10 ≤ lim t → ∞ ⁡ - 1 4 t 4 + 1 4 ( 10 4 )

R 10 ≤ T 10 ≤ 1 40000 = 0,000025

Resposta

O valor da soma dos dez primeiros termos da série é:

s 10 = 0,19926

O erro estimado é:

R 10 < 0,000025

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in

Ver Mais

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica

Ver Mais

Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x

Ver Mais

1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3

Ver Mais

Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios

Ver Mais