Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 33
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
Passo 1
Se tivéssemos usado o Teste de Comparação para mostrar que uma ´serie converge pela comparação com uma série , poderíamos ser capazes de estimar a soma pela comparação dos restos. O resto pode ser considerado como:
Para a série de comparação consideramos o resto correspondente
Como para todo , temos . Se é uma série , podemos estimar seu restante . Se for uma série geométrica, então é a soma de uma série geométrica e podemos somá-la exatamente. Em qualquer um dos dois casos, .
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa série.
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Essa série pode ser aproximada por uma série igual a
Na comparação das duas, temos:
Queremos estimar o erro dessa aproximação. Podemos escrever a seguinte relação aqui:
Temos uma integral imprópria para ser resolvida. Pra isso, nós precisaremos usar uma propriedade que envolve limites:
Desse modo, temos:
Para , temos:
Resposta
O valor da soma dos dez primeiros termos da série é:
O erro estimado é:
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais