Enunciado

Use a tabela de integrais e uma calculadora para determinar, com precisão de duas casas decimais, a área da superfície gerada pela rotação da curva y = x 2 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 , em torno do eixo x .

Passo 1

A área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo x é dada por:

A =   ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

Levando isso para nosso caso então, ficamos com:

A =   2 π ∫ - 1 1 x 2 1 + 2 x 2   d x

Passo 2

Vamos fazer uma substituição agora: u = 2 x → d u = 2   d x

Os limites de integração passam a ser - 2   e 2 né?

Aí a gente fica com uma integral assim:

π 4 ∫ - 2 2 u 2 1 + u 2   d u

Usando agora a tabela de integrais, (fórmula 36 do livro) encontramos:

π 4 u 8 1 + 2 u 2 1 + u 2 - 1 8 ln ⁡ ( u + 1 + u 2 - 2 2

Resolvemos agora...

π 4 [ 2 8 1 + 2 ∙ 4 1 + 4 - 1 8 ln ⁡ ( 2 + 1 + 2 2   - ( - 2 8 1 + 2.4 1 + 4 - 1 8 ln ⁡ - 2 + 1 + 4

Juntando o que dá, e calculando o resultado aproximado com uma calculadora, nós temos:

π 4 9 2 5 - 1 8 ln ⁡ 2 + 5 - 2 + 5 ≈ 7,62

Resposta

A ≈ 7,62

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