Enunciado

Determine a área das região em forma de hélice compreendida entre a curva

x - y 3 = 0   e x - y = 0    

Passo 1

Perceba que inicialmente é importante reescrever as curvas de maneira que uma variável fique em função da outra, ou seja,

x - y 3 = 0 ⇒ y = x 1 3  

E,

x - y = 0 ⇒ y = x

Em seguida, esboçar o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver em parte do intervalo y = x     é a função que está por cima , y = x 1 3   é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Porém depois de um certo tempo isso muda e y = x 1 3 é a função que está por cima e     y = x     é a função que está por baixo.

Passo 3

Antes de definirmos a “cara” da integral precisamos definir quais os intervalos de integração, pois lembre que no enunciado isso não foi dado, ou seja, precisamos encontra-los.

Para isso, podemos usar três maneiras, uma delas é olhar para o gráfico das funções e ver os pontos em comum entre elas , outro modo é substituir valores específicos em que as duas funções dão o mesmo valor, e o terceiro é igualar y = x 1 3     e y = x ,ou seja,

x 1 3   = y = x ⇒       x 1 3   = x ⇒ x 1 3 3 = x 3

  ⇒ x = x 3 ⇒ x - x 3 = 0 ⇒ x ( 1 - x 2 ) = 0

x = 0 ou 1 - x 2 = 0   ⇒ x = ± 1

Sendo assim, encontraremos três valores em que ambas as funções serão iguais, que são ele x = - 1   , 0 e 1 .

Esses pontos que “dirão” como será nosso intervalo de integração, pois percebe que no gráfico eles delimitam até onde cada região deve ser calculada.

Sendo assim, pela definição temos que a integral da região será:

∫ - 1 0 x -   x 1 3   d x + ∫ 0 1   x 1 3 - x   d x

Utilizamos duas integrais para calcular a região pois no gráfico haviam duas partes hachuradas.

Passo 4

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Mas para não nos confundirmos vamos calcular cada uma separadamente,

Calculando a integral 1

∫ - 1 0 x -   x 1 3   d x

Usando a regra da subtração (integral da subtração é a subtração das integrais)  

∫ - 1 0 x -   x 1 3   d x = ∫ - 1 0 x     d x - ∫ - 1 0   x 1 3   d x

Resolvendo respectivamente as integrais,

∫ - 1 0 x -   x 1 3   d x = ∫ - 1 0 x     d x - ∫ - 1 0   x 1 3   d x

= x 2 2 ​ - 1 0 - 3 4   x 4 3 ​ - 1 0

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ - 1 0 x -   x 1 3   d x = x 2 2 ​ - 1 0 - 3 4   x 4 3 ​ - 1 0 = 0 2 2 - - 1 2 2 - 3 4   0 4 3 - - 1 4 3

= 0 2 - 1 2 - 3 4   0 - 1 = 0 - 1 2 - 3 4 . - 1

= - 1 2   - - 3 4 = - 1 2 + 3 4 = 1 4

Assim a integral 1 é:

∫ - 1 0 x -   x 1 3   d x = 1 4

Resolvendo a integral 2:

∫ 0 1   x 1 3 - x   d x

Utilizando os mesmos artifícios e regras usados na integral 1 encontraremos que,

∫ 0 1   x 1 3 - x   d x = ∫ 0 1   x 1 3   d x - ∫ 0 1 x     d x = 3 4   x 4 3 ​ 0 1 - x 2 2 ​ 0 1

= 3 4   1 - 0 - 1 2 - 0 2 =   3 4 - 1 2 = 1 4

Assim a integral 2 é:

∫ 0 1   x 1 3 - x   d x = 1 4

Portanto,

∫ - 1 0 x -   x 1 3   d x + ∫ 0 1   x 1 3 - x   d x = 1 4 + 1 4 = 2 4 = 1 2

Resposta

Área da região entre y = x   e y =   x 1 3   quando - 1 ≤ x ≤ 1 ,     é igual 1 2 .

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Ache a área da região limitada pela curva: y = 9 9 - x 2 pelos eixos coordenados e pela reta x = 2 2 .
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Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distância de F 1 a F 2 . O lugar geométrico dos pontos P do plano tais que P F 1 - ⋅ P F 2 - = k 2 denomina-se lemniscata de focos F